Konvergenz zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Fr 12.07.2013 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Ich habe eine Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] von Funktionen auf einem endlichen Massraum. Alle [mm] $f_n\in L^1$, [/mm] sind also integrierbar und [mm] $\|f_n\|=1$. [/mm]
Nun definiere ich [mm] $g:=\sum_{i=1}^\infty a_i f_i$, [/mm] wobei [mm] $a_i=2^{-i}$ [/mm] ist. Ebenso wird [mm] $g_k:=\frac{1}{\sum_{j=1}^ka_j}\sum_{i=1}^k a_i f_i$. [/mm] Nun will ich zeigen, dass
[mm] $g_k\to [/mm] g $ in [mm] $L^1$. [/mm]
Aber wie mache ich das genau, mich irritiert der Faktor vor der Summe in der Definition von [mm] $g_k$. [/mm] Danke für die Hilfe
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Fr 12.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe ist doch bis auf den Anfang 1 statt 0 die einer geometrischen Reihe für q=1/2
also schreib die summe einfach hin, und bestimme den GW
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 12.07.2013 | | Autor: | physicus |
Hallo Leduart
Ok, ich weiss, dass [mm] $\sum_{j=1}^k=\frac{1-\frac{1}{2}^{k+1}}{\frac{1}{2}}-1=1-2^{-(k+1)}$. [/mm] Ah ich glaube ich sehs:
Kann ich so argumentieren: Ich weiss, dass [mm] $\lim_k 1-2^{-(k+1)} [/mm] = 1$ und es ist klar, ass [mm] $\sum_{i=1}^ka_i f_i$ [/mm] gegen $g$ konvergiert. Also stimmt die Behauptung, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Fr 12.07.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
oder du zeigst , dass ab einem k [mm] |g-g_k|<\epsilon. [/mm] das ist immer der beste Konvergenzbeweis.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo
> oder du zeigst , dass ab einem k [mm]|g-g_k|<\epsilon.[/mm] das
> ist immer der beste Konvergenzbeweis.
in der gegebenen Notation sollte da
[mm] $\|g-g_k\| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
für (beliebiges, aber festes) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ nachgewiesen werden, wobei das ab einem
(eventuell) von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ abhängigen [mm] $k\,$ [/mm] gilt. Dabei ist die [mm] $\|.\|$ [/mm] sicher die [mm] $L^1$-Norm!
[/mm]
Der beste Konvergenzbeweis ist sowas aber keinesfalls immer. Wozu
formuliert man sonst auch Charakterisierungen oder andere Folgerungen
bzw. Hilfssätze und Hilfsmittel? Dann könnte man auch immer alles per
Definitionem abhandeln - das geht zwar, ist aber oft unnötig
anstrengend(er)!
(Zum Bsp. ist es unnötig, per Definitionem aus [mm] $a_n \to [/mm] 1/2$ und [mm] $b_n \to [/mm] 1/3$ rein per
Definitionem nachzuweisen, dass [mm] $a_n*b_n \to 1/6\,.$ [/mm] Schließlich hat man zuvor doch
bewiesen, dass
[mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ auch [mm] $a_n*b_n \to [/mm] a*b$
liefert!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und es ist klar, ass [mm]\sum_{i=1}^ka_i f_i[/mm] gegen [mm]g[/mm]
> konvergiert.
warum ist (Dir) das klar? Es geht ja nicht einfach nur um pktw. Kgz.!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Sa 13.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Ich habe eine Folge [mm](f_n)[/mm] von Funktionen auf einem
> endlichen Massraum. Alle [mm]f_n\in L^1[/mm], sind also integrierbar
> und [mm]\|f_n\|=1[/mm].
>
> Nun definiere ich [mm]g:=\sum_{i=1}^\infty a_i f_i[/mm], wobei
> [mm]a_i=2^{-i}[/mm] ist.
Das bedeutet, mit [mm] s_k:=\summe_{i=1}^{k}a_i f_i,
[/mm]
[mm] ||g-s_k|| \to [/mm] 0 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
> Ebenso wird
> [mm]g_k:=\frac{1}{\sum_{j=1}^ka_j}\sum_{i=1}^k a_i f_i[/mm]. Nun
> will ich zeigen, dass
>
> [mm]g_k\to g[/mm] in [mm]L^1[/mm].
>
> Aber wie mache ich das genau, mich irritiert der Faktor vor
> der Summe in der Definition von [mm]g_k[/mm]. Danke für die Hilfe
Mit obigem [mm] s_k [/mm] haben wir
[mm] ||g-g_k||= ||g-s_k+s_k-g_k|| \le ||g-s_k||+||s_k-g_k||
[/mm]
Wir haben ja, dass $ [mm] ||g-s_k|| \to [/mm] $ 0 (k $ [mm] \to \infty) [/mm] $, also ist nur noch [mm] ||s_k-g_k|| [/mm] zu untersuchen.
Schreib Dir mal [mm] s_k-g_k [/mm] hin, fasse schön zusammen und beachte, dass [mm] ||f_i||=1 [/mm] ist für alle i, dann solltest Du sehen:
[mm] $||s_k-g_k|| \to [/mm] $ 0 (k $ [mm] \to \infty) [/mm] $
FRED
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> Gruss
>
> physicus
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