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Hallo
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}
[/mm]
1. Frage muss ich die Reihe umformen das ich [mm] a_{n}*(x+2)^{n} [/mm] steht oder darf auch 3n stehen?
dann würde ich mit dem Quotientenkriterium auf [mm] \bruch{1}{n^{3}* \wurzel{n}} [/mm] angewendet und dem Kehrwert davon auf einen Konvergenzradius von 1 kommen
also hab ich ein Intervall von [-3;-1] jetzt muss man noch die Ränder untersuchen
2.Zeigen Sie das [mm] \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}\le\bruch{1}{n^{3}} [/mm] für alle x [mm] \in[-3;-1] [/mm] und alle [mm] n\ge [/mm] 1
[mm] \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}\le\bruch{1}{n^{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{(x+2)^{3n}}{ \wurzel{n}}\le1
[/mm]
[mm] (x+2)^{3}\le\wurzel{n}
[/mm]
[mm] x+2\le n^{ \bruch{1}{6n}}
[/mm]
[mm] x\le n^{ \bruch{1}{6n}}-2
[/mm]
[mm] n^{ \bruch{1}{6n}} [/mm] ist immer [mm] \ge [/mm] 1
[mm] n^{ \bruch{1}{6n}}-2 [/mm] ist nie [mm] \le [/mm] -1
ist das schon der Beweis???
3.Was folgt daraus für die Konvergenzeigenschaften von [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}
[/mm]
da [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] eine konvergente Majorante für [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}} [/mm] bedeutet das nur das die Reihe konvergent ist und nicht mehr oder ???
Danke
lg Stevo
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Hallo stevarino,
> Hallo
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> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}[/mm]
>
> 1. Frage muss ich die Reihe umformen das ich
> [mm]a_{n}*(x+2)^{n}[/mm] steht oder darf auch 3n stehen?
>
Setze hier [mm]u\; = \;\left( {x\; + \;2} \right)^3 [/mm].
Es ergibt sich dann die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{u^{n}}{n^{3}* \wurzel{n}}[/mm].
Auf diese Reihe kannste jetzt das Quotientenkriterium loslassen.
> dann würde ich mit dem Quotientenkriterium auf
> [mm]\bruch{1}{n^{3}* \wurzel{n}}[/mm] angewendet und dem Kehrwert
Stimmt nicht ganz:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{a_{n + 1} }}
{{a_n }}} \right|\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n^3 \;\sqrt n }}
{{\left( {n + 1} \right)^3 \;\sqrt {n + 1} }}} \right|[/mm]
> davon auf einen Konvergenzradius von 1 kommen
>
> also hab ich ein Intervall von [-3;-1] jetzt muss man noch
> die Ränder untersuchen
Das Ergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> 2.Zeigen Sie das [mm]\bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}\le\bruch{1}{n^{3}}[/mm]
> für alle x [mm]\in[-3;-1][/mm] und alle [mm]n\ge[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}\le\bruch{1}{n^{3}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x+2)^{3n}}{ \wurzel{n}}\le1[/mm]
>
> [mm](x+2)^{3}\le\wurzel{n}[/mm]
> [mm]x+2\le n^{ \bruch{1}{6n}}[/mm]
> [mm]x\le n^{ \bruch{1}{6n}}-2[/mm]
> [mm]n^{ \bruch{1}{6n}}[/mm]
> ist immer [mm]\ge[/mm] 1
> [mm]n^{ \bruch{1}{6n}}-2[/mm] ist nie [mm]\le[/mm] -1
> ist das schon der Beweis???
Ja.
> 3.Was folgt daraus für die Konvergenzeigenschaften von
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}[/mm]
>
> da [mm]\bruch{1}{n^{3}}[/mm] eine konvergente Majorante für
> [mm]\summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n^{3}* \wurzel{n}}[/mm]
Es ist nur gezeigt worden, daß [mm]\frac{1}{{n^3 }}[/mm] eine obere Majorante für [mm]\frac{{\left( {x\; + \;2} \right)^{3n} }}{{n^3 \;\sqrt n }}[/mm] ist.
> bedeutet das nur das die Reihe konvergent ist und nicht
> mehr oder ???
Die Reihe [mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^3 }}} [/mm] konvergiert aber, da [mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\frac{1}
{{n^3 }}\; = \;0[/mm] ist.
Gruß
MathePower
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