Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzrahie:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{(2n+1)!} z^n [/mm] |
Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. So weit bin ich gekommen:
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vmat{\bruch{\alpha_n}{\alpha_n_+_1 }}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{ \bruch{n^2}{(2n+1)!} * \bruch{(2n+3)!}{(n+1)^2}}
[/mm]
Die Fakultät bereitet mir Kopfschmerzen, wie soll ich denn weiter rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Bedenke, dass gemäß Definition der Fakultät gilt:
$(2n+3)! \ = \ (2n+1)!*(2n+2)*(2n+3)$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
ein Fehler ist mit unterlaufen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{ \bruch{n^n}{(2n+1)!} \cdot{} \bruch{(2n+3)!}{(n+1)^n}}
[/mm]
Sollte [mm] n^n [/mm] heissen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
Hallo
also durch kürzen bekomme ich:
[mm] \bruch{n^n(2n+2) (2n+3)}{(n+1)^n)}
[/mm]
Und wie gehe ich weiter vor? Kann man hier [mm] n^n [/mm] kürzen? wenn ja wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Du kannst im Nenner $n_$ ausklammern und anschließend [mm] $n^n$ [/mm] kürzen:
[mm] $(n+1)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] n^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
Ok dann haben wir :
[mm] \bruch{(2n+1) (2n+3) } {(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
Und wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Nun machst Du eine Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Heißt das in der Aufgabenstellung nun im Zähler [mm] $n^{\red{2}}$ [/mm] oder [mm] $n^{\red{n}}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
ja genau [mm] n^n [/mm] !!
also
[mm] =\bruch{(2\infty+2) (2\infty+3)} {(1+\bruch{1}{\infty})^\infty }
[/mm]
[mm] =\bruch{(0+2) (0+3)} {(1+\bruch{1}{0})^0 }
[/mm]
=6
also ist r = 6
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
Du macht hier im Nenner ein Fehler ... der Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] sollte Dir (im Zusammenhang mit der e-Funktion) bekannt vorkommen.
Außerdem ... wie kommt Du denn z.B. von [mm] "$2*\infty [/mm] \ = \ 0$" ?? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
hmm, dann habe ich das falsch vertanden... klär mich mal auf, bitte.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
ist doch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n \ = \ \red{e} \ \approx \ 2.71...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
> Außerdem ... wie kommt Du denn z.B. von "[mm]2*\infty \ = \ 0[/mm]"
> ??
Ich hätte gedacht, dass das so ist? Klär mich bitt auf!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
Achso ..also haben wir:
[mm] \bruch{ (\infty+2) (\infty+3) }{e} [/mm] ??
Und was ist dann der Konvergenzradius?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 03.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
> Achso ..also haben wir: [mm]\bruch{ (\infty+2) (\infty+3) }{e}[/mm] ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und was ist dann der Konvergenzradius?
Was ist denn nun der Grenzwert des obigen Ausdruckes? Das ist dann der gesuchte Konvergenzradius $r_$ , d.h. für alle $|z| \ < \ r$ konvergiert die genannte Potenzreihe.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:02 Di 03.07.2007 | | Autor: | macio |
hmm, ich weis nicht, ob man den Zähler irgendwie noch zusammenfassen kann? Wie soll man denn den Grenzwert jetzt bestimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo macio
du frägst zu schnell zurück. Denk mal ne weile drüber nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 04.07.2007 | | Autor: | macio |
Grenzwert geht gegen [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo macio!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^n}{(2n+1)!}z^n
[/mm]
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Ich wollte diese Aufgabe lösen, damit ich mit Konvergenzradien etwas vertrauter werde. Dabei kam ich auf ein anderes Zwischenresultat und bin unsicher, wer nun den Fehler gemacht hat.
Hier wurde das Quotientenkriterium verwendet und folgendes kam da bei mir raus:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}*\bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{(n+1)}})
[/mm]
Ist mein Zähler im 2. Bruch etwa falsch? In der bereits existierenden Lösung stand da [mm] \bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{n}}
[/mm]
Ich gehe zwar stark davon aus, dass man alle n durch (n+1) ersetzen muss.
Gruss aschi
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> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^n}{(2n+1)!}z^n[/mm]
>
>
> Ich wollte diese Aufgabe lösen, damit ich mit
> Konvergenzradien etwas vertrauter werde. Dabei kam ich auf
> ein anderes Zwischenresultat und bin unsicher, wer nun den
> Fehler gemacht hat.
>
> Hier wurde das Quotientenkriterium verwendet und folgendes
> kam da bei mir raus:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}*\bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{(n+1)}})[/mm]
>
> Ist mein Zähler im 2. Bruch etwa falsch?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei Dir ist bisher alles richtig.
> In der bereits
> existierenden Lösung
Wo steht die?
Die Ursprungsaufgabe dieses Threads war ja etwas anders als Deine.
> stand da [mm]\bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{n}}[/mm]
>
> Ich gehe zwar stark davon aus, dass man alle n durch (n+1)
> ersetzen muss.
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Gruss aschi
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Bei der Aufgabe stand zu Beginn fälschlicher weise [mm] n^2 [/mm] und nicht [mm] n^n, [/mm] dies hat der Autor im Verlauf der Diskussion korrigiert (3. Post).
Beruhigt mich, wenn ich bisher korrekt vorgegangen bin :) Danke fürs Nachrechnen!
Meine Lösung:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}\cdot{}\bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{n+1}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}\cdot{}\bruch{(2n+1)!\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)(n+1)^{n}}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*n^n*(1+\bruch{1}{n})^n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*1*(1)}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4n^2+10n+6)}{(n+1)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4+\bruch{10}{n}+\bruch{6}{n^2}}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}} [/mm] = 4
Gruss aschi
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> Bei der Aufgabe stand zu Beginn fälschlicher weise [mm]n^2[/mm] und
> nicht [mm]n^n,[/mm] dies hat der Autor im Verlauf der Diskussion
> korrigiert (3. Post).
>
> Beruhigt mich, wenn ich bisher korrekt vorgegangen bin :)
> Danke fürs Nachrechnen!
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}\cdot{}\bruch{(2n+3)!}{(n+1)^{n+1}})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{(2n+1)!}\cdot{}\bruch{(2n+1)!\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)(n+1)^{n}})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*n^n*\red{(1+\bruch{1}{n})^n})}[/mm]
Hallo,
bis hierher konnte ich gut folgen
Der nächste Schritt ist mir nicht klar bzw. ich fürchte, Du meinst, daß [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \to [/mm] 1.
Das ist nicht der Fall.
Teste es ruhig mal mit dem Taschenrechner.
Gruß v. Angela
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*1*\red{(1)}})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4n^2+10n+6)}{(n+1)}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4+\bruch{10}{n}+\bruch{6}{n^2}}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]
> = 4
>
> Gruss aschi
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argh, wie oben schon mal stand ist das Eine im Nenner: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = e.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)\cdot{}n^n\cdot{}(1+\bruch{1}{n})^n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*e}.
[/mm]
Das Resultat verändert sich zum Glück nicht ;)
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> argh, wie oben schon mal stand ist das Eine im Nenner:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = e.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n^n}{1}\cdot{}\bruch{1\cdot{}(2n+2)(2n+3)}{(n+1)\cdot{}n^n\cdot{}(1+\bruch{1}{n})^n})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*e}.[/mm]
>
> Das Resultat verändert sich zum Glück nicht ;)
Hallo,
vielleicht nicht, wenn man so weiterrechnet, wie Du es zuvor tatest...
Wenn man richtig weiterrechnet, dann allerdings schon
Ich bekomme
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)*e}.[/mm]= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2(2n+3)}{e}[/mm] =???
(Ein kleiner Blick zwischendurch darauf, welchem Wert n zustrebt, ist hier nicht schädlich...)
Gruß v. Angela
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Ok, da hab ichs mir doch zu einfach gemacht. Geht dann gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ich verstehe allerdings noch nicht worin der Fehler begraben liegt, wenn ich den Bruch mit [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] erweitere. Hab das oft gemacht bei Grenzwert Berechnungen und so ein Fall wo's nicht zutrifft nicht erlebt :(.
Oh je, ein 2. Blick auf den Bruch und mir wird einiges klar =).
da würde ja stehn: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{4+\bruch{10}{n}+\bruch{6}{n^2}}{\bruch{e}{n}+\bruch{e}{n^2}}) [/mm] = [mm] \bruch{4}{0} [/mm] = undef.
oder muss ich so argumentieren: der Zähler strebt gegen 0 und somit wird der Bruch riesig bzw [mm] \infty [/mm] (intuitiv gefällt mir der 2. Ansatz besser, auch wenn er nicht sehr mathematisch formuliert ist. Ausserdem sollte die Erweiterung mit [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] kaum rechnerisch inkorrekt sein?!)
Vielen Dank Angela, warst eine grosse Hilfe!
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> da würde ja stehn:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{4+\bruch{10}{n}+\bruch{6}{n^2}}{\bruch{e}{n}+\bruch{e}{n^2}})[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{0}[/mm] = undef.
Hallo,
normalerweise würde man ja in $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(2n+2)(2n+3)}{(n+1)\cdot{}e}.$ [/mm] erstmal das n+1 kürzen, so, wie ich es zuvor tat.
Wenn Du unbedingt Zähler und Nenner durch irgendwas dividieren willst, dann wäre das hier doch mit n, also Erweiterung mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - und nicht mit dem Quadrat.
Man will doch gerade undefinierte Ausdrücke vermeiden.
Dann hättest Du [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{4n+10+\bruch{6}{n}}{e+\bruch{e}{n}})[/mm] .
Gruß v. Angela
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
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