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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgende Reihe auf Konvergenz
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!\cdot 2^n}{n^n}$ [/mm] |
Ich versuche mich schon seit einer weile an dieser Aufgabe, komme jedoch zu keinem brauchbaren Ergebnis
Probiert habe ich das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
mit dem WK komme ich auf
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\wurzel[n]{n!}\cdot 2}{n}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}=\infty$
[/mm]
Damit hätte ich [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}\cdot\frac{2}{n}$
[/mm]
das ist praktisch [mm] $=\infty\cdot [/mm] 0$ das ist aber leider ein ... (mir fällt der begriff nicht ein) Ausdruck
genau wie $0/0$ oder [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Wolfram Alpha meint das eine Nullfolge ist
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28x!2^x%29%2Fx^x
wie löse ich die Aufgabe richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 10.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen sie die folgende Reihe auf Konvergenz
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{n!\cdot 2^n}{n^n}[/mm]
> Ich versuche
> mich schon seit einer weile an dieser Aufgabe, komme jedoch
> zu keinem brauchbaren Ergebnis
> Probiert habe ich das Wurzelkriterium und das
> Quotientenkriterium.
> mit dem WK komme ich auf
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\wurzel[n]{n!}\cdot 2}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}=\infty[/mm]
>
> Damit hätte ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!}\cdot\frac{2}{n}[/mm]
>
> das ist praktisch [mm]=\infty\cdot 0[/mm] das ist aber leider ein
> ... (mir fällt der begriff nicht ein) Ausdruck
> genau wie [mm]0/0[/mm] oder [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]
>
> Wolfram Alpha meint das eine Nullfolge ist
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28x!2^x%29%2Fx^x
>
> wie löse ich die Aufgabe richtig?
Mit dem Quotientenkriterium geht es doch sehr gut! Woran hängt es denn?
Viele Grüße
Rainer
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es hing an dem Term $(n+1)!$ ich hab in meinen Unterlagen was gefunden. diesen Term kann man zu $n!(n+1)$ umformen damit kann man dann weiter kürzen und kommt mit dem QK am Ende auf einen Term
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\frac{n^n}{(n+1)^n}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\left(\frac{n}{(n+1)}\right)^n$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\left(\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}\right)^n$
[/mm]
[mm] $(1+\frac{1}{n})^n$ [/mm] ergibt die $e$-Funktion
Damit komme ich dann auf das Ergebnis [mm] $\frac{2}{e}$
[/mm]
[mm] $\frac{2}{e}\approx0,7357...<0$ [/mm] damit ist die reihe konvergent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> es hing an dem Term [mm](n+1)![/mm] ich hab in meinen Unterlagen was
> gefunden. diesen Term kann man zu [mm]n!(n+1)[/mm] umformen damit
> kann man dann weiter kürzen und kommt mit dem QK am Ende
> auf einen Term
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\frac{n^n}{(n+1)^n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\left(\frac{n}{(n+1)}\right)^n[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2\cdot\left(\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}\right)^n[/mm]
>
> [mm](1+\frac{1}{n})^n[/mm] ergibt die [mm]e[/mm]-Funktion
Nein. Die Folge [mm] ((1+\frac{1}{n})^n) [/mm] hat den Grenzwert e.
>
> Damit komme ich dann auf das Ergebnis [mm]\frac{2}{e}[/mm]
> [mm]\frac{2}{e}\approx0,7357...<0[/mm]
Du meinst sicher [mm] \frac{2}{e}<1.
[/mm]
FRED
> damit ist die reihe
> konvergent
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