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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 07.12.2005 | | Autor: | tempo |
hi mathematiker(innen),
habe heute eine frage zur folgender aufgabe:
Betrachten Sie folgende Basen des [mm] \IR^3
[/mm]
A = {(2,1,2), (1,3,1), (0,1,2)}
B = {(1,2,3), (3,1,2), (2,3,1)}.
a) Berechnen Sie die Koordinatentransformation T des Basiswechsels von A nach B.
b) Invertieren Sie T.
also wir machen z.Z. matrizen, ZSF (zeilenstufenform), matrizenumrechnungen,... und meine frage ist nur ob ich die aufgabe richtig verstanden habe. also ich verstehe sie so, das die 3 basisvektoren von A auf die 3 basisvektoren von B abgebilden werden und ich die abbildungsmatrix T bilden soll und dann invertieren. ich habe also den ersten vektor von A auf den ersten von B abgebildet, den 2ten auf den 2ten,... und dann die abbildungsmatrix berechnet. vor einer woche aber hatten wir eine ähnliche aufgabe und da haben wir (wenn ich die aufgabe auf diese "projeziere") den ersten vektor von A genommen und durch lin-kombi der B-vektoren dargestellt, und die koeffizienten dann in die spalten der matrix eingetragen. dazu auch meine frage: welches von den beiden vorgehen ist hier angebracht (oder gar keins? oder sind vielleicht beide sogar gleich?) ich kann zwar mit abbildungsmatrizen umgehen aber der richtige überblick fehlt da wohl noch... (wird hoffe ich demnächst kommen ;) )
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> hi mathematiker(innen),
> habe heute eine frage zur folgender aufgabe:
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> Betrachten Sie folgende Basen des [mm]\IR^3[/mm]
> A = {(2,1,2), (1,3,1), (0,1,2)}
> B = {(1,2,3), (3,1,2), (2,3,1)}.
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> a) Berechnen Sie die Koordinatentransformation T des
> Basiswechsels von A nach B.
> b) Invertieren Sie T.
Hallo,
denken wir einmal kurz darüber nach, was diese Koordinatentransformation T leisten soll.
Wir haben eine Basis [mm] A:=(a_i) [/mm] und eine Basis [mm] B:=(b_i) [/mm] des Vektorraumes gegeben.
T soll und nun jeden Vektor x, der in Koordinaten bzgl A angegeben ist, [mm] x:=\summe k_ia_i [/mm] liefern in Koordinaten bzgl.B, also x= [mm] l_ib_i.
[/mm]
Der Vektor x bleibt ein und derselbe, er wird nur anders aufgeschrieben.
Ich habe den Eindruck, daß Du als nächstes lieber ein Kochrezept haben möchtest für das weitere Vorgehen, als einen Beweis. Richtig?
Es ist die Strategie aus Deiner Lehrveranstaltung von vor einer Woche die richtige: drücke [mm] a_1 [/mm] als Linearkombination der b-i aus, schreibe die Koordinaten in die erste spalte, dann [mm] a_2 [/mm] als Linearkombination der b-i, koordinaten in die zweite Spalte, und für [mm] a_3 [/mm] genauso. Dann hast Du deine transformationsmatrix T, und an
[mm] Tx=T(\summe k_ia_i [/mm] )= [mm] \summe(k_i(Ta_i)) [/mm] siehst Du, daß T das Gewünschte liefert.
Oh, ich sehe noch einen Stolperstein: weißt Du, was Du "reinstecken" mußt, wenn Du wissen willst, wie [mm] 9a_1+8a_2+7a_3 [/mm] in der Basis B geschrieben werden?
Du mußt [mm] \vektor{9 \\ 8 \\ 7 } [/mm] reinstecken, also T [mm] \vektor{9 \\ 8 \\ 7 } [/mm] rechnen.
Heraus bekommst Du einen Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c }, [/mm] der sagt: [mm] a_1+8a_2+7a_3=ab_1+bb_2+cb_3.
[/mm]
>Also ich verstehe sie so,
> das die 3 basisvektoren von A auf die 3 basisvektoren von B
> abgebilden werden
Nein, das ist eine völlig andere Aufgabe. Wenn Du in solch eine Matrix T
[mm] x:=\summe k_ia_i [/mm] hineinsteckst, bekommst Du [mm] \summe T(\summe k_ia_i )=\summe (k_iTa_i)=\summek_ib_i, [/mm] und die [mm] k_i [/mm] sind ja gerade nicht die Koordinaten in der neuen Basis B. Das sind ja die Koordinaten vonx in der alten Basis A.
Gruß v. Angela
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