Kreise im Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Auf den Seiten eines Dreiecks abc seien Punkte a′ ∈ [mm] \overline{bc}, [/mm] b′ ∈ [mm] \overline{ca} [/mm] und c′ ∈ [mm] \overline{ab} [/mm] gewählt, keiner davon eine Dreiecksecke. Es seien [mm] K_a [/mm] der Kreis durch a, b′, c′, [mm] K_b [/mm] der Kreis durch b, c′, a′ und [mm] K_c [/mm] der Kreis durch c, a′, b′. Zeigen Sie: [mm] K_a,K_b [/mm] und [mm] K_c [/mm] schneiden sich in einem Punkt. (Hinweis: Winkelsumme im Dreieck und der Satz vom Sehnenviereck.) |
Hallo,
ich hab mir das schon mal aufgezeichnet, weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass sich die Kreise in nur einem Punkt schneiden. Auch kann ich nichts mit dem Hinweiß anfangen.
Kann mir jemand viell einen Ansatz geben, mit dem ich dann weitermachen kann?
schon mal vielen Dank
fg
Chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 15.05.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
der Kreis um A, C' und B' sowie der Kreis um B, A' und C' schneiden sich in zwei Punkte: einer davon ist C', der andere ist ein Punkt S.
Somit liegen auf dem einen Kreis die 4 Punkte A, C', S und B', welche somit ein Sehnenviereck auf diesem Kreis bilden. Da sich im Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen, hat der Winkel bei S die Größe [mm] 180°-\alpha [/mm] . Auf dem zweitgenannten Kreis hat der entsprechende Innenwinkel des Sehnenvierecks BA'SC' beim Punkt S die Größe [mm] 180°-\beta.
[/mm]
Somit ist der Winkel A'SB'=Vollwinkel [mm] -(180°-\alpha)-(180°-\beta), [/mm] also [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta.
[/mm]
Wenn du nachweisen kannst, dass sich dieser Winkel mit [mm] \gamma [/mm] zu 180° ergänzt, dann ist auch CB'SA' ein Sehnenviereck, und der Punkt S gehört zu allen drei Sehnenvierecken und damit zu allen drei Kreisen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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