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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Krit. Punkte mit Abkürzung
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Krit. Punkte mit Abkürzung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Sa 23.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Bestimme kritische Punkte der folgenden Funktion

$ f(x,y)= [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3xy  $

Hallo,
zum Bestimmen der kritischen Punkte einer Funktion geht's wie folgt:

$ (grad f)(x,y) = (0,0) $

$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] = [mm] 3(x^2-y) [/mm] $

und

$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y) [/mm] = [mm] 3(y^2-x) [/mm] $

Kritische Punkte in f sind: $ (0,0) und (1,1) $

Die Frage zur Aufgabe: Ist $ (0,0) $ ein lokales Extremum von f?

Bislang sind wir beim Ermitteln von Extremstellen via Hesse-Matrix gegangen.

Meine Frage: Lässt sich das auf andere Weise schneller feststellen?





        
Bezug
Krit. Punkte mit Abkürzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Sa 23.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]f(x,y)= x^3 + y^3 - 3xy [/mm]

> Die Frage zur Aufgabe: Ist [mm](0,0)[/mm] ein lokales Extremum von f?

> Meine Frage: Lässt sich das auf andere Weise schneller feststellen?

Offensichtlich ist $f(0,0) = 0$
Wie verhält sich nun $f(x,0) = [mm] x^3$ [/mm] für kleine $x$ um 0?

Gruß,
Gono

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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Sa 23.11.2019
Autor: bondi

Vermutlich ist der Weg über kritische Punkte doch der geeignetste. Dass (0,0) kritischer Punkt ist, ergibt sich a) aus dem Ermitteln der krit. Punkte und b) durch scharfes Hinsehen. Da ich die krit. Punkte aber eh ermitteln muss, would I kill 2 birds here with one stone.

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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Sa 23.11.2019
Autor: fred97


> Vermutlich ist der Weg über kritische Punkte doch der
> geeignetste. Dass (0,0) kritischer Punkt ist, ergibt sich
> a) aus dem Ermitteln der krit. Punkte und b) durch scharfes
> Hinsehen. Da ich die krit. Punkte aber eh ermitteln muss,
> would I kill 2 birds here with one stone.

And I think that you have not understood what  the birds of Gono have gezwitschert. ...

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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:27 So 24.11.2019
Autor: bondi

probably not. By the way, from time to time it feels like driving a roller coaster while trying to understand a math brain.

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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 So 24.11.2019
Autor: fred97


> probably not. By the way, from time to time it feels like
> driving a roller coaster while trying to understand a math
> brain.

Nun  machen wir  doch mal Nägel mit Köpfen im Gehirn.  Gono hat vorgeschlagen,  dass  du  dir mal [mm] f(x,0)=x^3 [/mm] in der Nähe von 0  anschaust. Du solltest  sehen,  dass  f in jeder Umgebung von  (0,0) sowohl positive als auch negative  Funktionswerte annimmt.  Wegen  f(0,0)=0 bedeutet  dies :  f  hat in  (0,0) kein lokales Extremum.

Ich sehe keine  Achterbahn,  eher  einen Bummelzug

Es grüßt das math brain von Fred


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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Mi 27.11.2019
Autor: bondi

Grad kam mir die Idee, für f(x,0) Werte > und < 0 einzusetzen, funktioniert.

Somit ist f(0,0) kein lokales Extremum :)

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Krit. Punkte mit Abkürzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 Mi 27.11.2019
Autor: fred97


> Grad kam mir die Idee, für f(x,0) Werte > und < 0
> einzusetzen,

So, Deine Idee  ? Das habe ich Dir vor vier Tagen, am Sonntag gesagt (https://matheraum.de/read?i=1096191) . Und Gono hat Dir das noch ein paar Tage früher ans Herz gelegt.


> funktioniert.
>  
> Somit ist f(0,0) kein lokales Extremum :)


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