Kriterien affiner Unterraum < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Di 02.06.2020 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
mir ist bekannt, dass ein affiner Unterraum ein Raum W = a + U, wobei U ein Untervektorraum ist.
Mir sind auch die Kriterien bekannt, um Mengen auf Untervektorraumeigenschaft zu überprüfen:
1.) Ist der Nullvektor enthalten ?
2.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. + ?
3.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit einem
Körper K ?
Was ich aber nicht weiß ist, mit welchen Kriterien man eine Menge daraufhin überprüft, ob sie einen affinen Unterraum darstellt (und keine klassische Gerade- oder Ebenengleichung aus der Schulmathematik darstellt, da mir hier klar ist, dass es ein affiner Unterraum ist).
z.B.
M = [mm] \{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 + x_2 + x_3 <=1 \}
[/mm]
N = [mm] \{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 = 1 oder x_3 = 1 \}
[/mm]
Dies sind scheinbar keine affinen Unterräume, aber wie zeigt man dies genau?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Di 02.06.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> mir ist bekannt, dass ein affiner Unterraum ein Raum W = a
> + U, wobei U ein Untervektorraum ist.
>
> Mir sind auch die Kriterien bekannt, um Mengen auf
> Untervektorraumeigenschaft zu überprüfen:
> 1.) Ist der Nullvektor enthalten ?
> 2.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. + ?
> 3.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. der Multiplikation
> mit einem
> Körper K ?
>
> Was ich aber nicht weiß ist, mit welchen Kriterien man
> eine Menge daraufhin überprüft, ob sie einen affinen
> Unterraum darstellt (und keine klassische Gerade- oder
> Ebenengleichung aus der Schulmathematik darstellt, da mir
> hier klar ist, dass es ein affiner Unterraum ist).
>
> z.B.
> M = [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 + x_2 + x_3 <=1 \}[/mm]
> N =
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 = 1 oder x_3 = 1 \}[/mm]
>
> Dies sind scheinbar keine affinen Unterräume, aber wie
> zeigt man dies genau?
Zu M:
wir nehmen an, M sei ein affiner Unteraum. Dann ex ein $a [mm] \in \IR^3$ [/mm] und ein Untervektorraum U mit
$M=a+U.$
Nun gibt es 4 Fälle:
Fall i: [mm] $\dim [/mm] U=i$ (i=0,1,2,3).
Ist i=0, so ist [mm] $M=\{a\}$. [/mm] Dieser Fall scheidet aus.
Ist i=1, so ist M eine Gerade, dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)
Ist i=2, so ist M eine Ebene, dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)
Ist i=3, so ist M= [mm] \IR^3, [/mm] dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)
Genauso kannst Du mit N verfahren.
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> Danke für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
> Rubi
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