Kriterium für die Meßbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 16.05.2006 | | Autor: | mstudent |
| Aufgabe | | Seien $(X, [mm] \mathcal{A})$ [/mm] und [mm] $(Y,\mathcal{B})$ [/mm] meßbare Räume. [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] erzeuge die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}$ [/mm] und es sei $T:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung mit [mm] $T^{-1} [/mm] (B) [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] für $B [mm] \in \mathcal{E}$. [/mm] Dann ist $T$ [mm] $\mathcal{A}-\mathcal{B}$-meßbar. [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich weiß nicht so genau wie ich da vorgehen soll...
Hab mir folgendes überlegt:
Also nach Voraussetzung gilt [mm] $\{ T^{-1} (B): B \in E \} \subset [/mm] A$ , daraus folgt, dass [mm] $\sigma (\{T^{-1} (B): B \in E\}) \subset\ [/mm] A$ (weil A eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist).
Nach Voraussetzung gilt auch: $B = [mm] \sigma [/mm] (E)$.
Folgt denn daraus die Behauptung??
Wäre nett wenn mir jemand helfen würde!
vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
wenn [mm] {\mathcal E} [/mm] die [mm] \varsigma-Algebra {\mathcal B} [/mm] erzeugt und [mm] \forall E\in {\mathcal E} \:\: T^{-1}(E)\in {\mathcal A} [/mm] gilt,
ist daraus abzuleiten, dass [mm] \forall B\in {\mathcal B} [/mm] auch [mm] T^{-1}(B)\in {\mathcal A} [/mm] gilt. Das hast Du ja auch so geschrieben/angedeutet.
Aber gerade dies würd ich dann auch explizit machen: Da musst Du im wesentlichen begründen, daß [mm] T^{-1} [/mm] mit den Mengenoperationen,
mit denen die [mm] \varsigma-Algebra {\mathcal B} [/mm] aus [mm] {\mathcal E} [/mm] erzeugt wird, zB:
Falls [mm] T^{-1}(E_i)\in {\mathcal A},\:\: i\in [/mm] I, so gilt auch [mm] T^{-1}(\bigcup_{i\in I} E_i)\in {\mathcal A}.
[/mm]
Klar soweit ?
Gruss,
Mathias
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