Kugel, Ebene und Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegegen: Ebene E: [mm] 6x_1 [/mm] + [mm] 9x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] - 11 = 0
Gerade g: X = [mm] \begin{pmatrix} 39 \\ 61 \\ -23 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 13 \\ 20 \\ -8 \end{pmatrix}
[/mm]
Eine Kugel K mit Radius 22 bewegt sich so, dass ihr Mittelpunkt auf g wandert.
a) in welchen Punkten berührt die Kugel die Ebene?
Wo ist dann jeweils der Kugelmittelpunkt?
b) Wo ist der Mittelpunkt des größten Schnittkreises von K und E ? |
zu a) lösung müsste sein: die Berührpunkte heißen [mm] B_1(-1;-1;13) [/mm] und [mm] B_2(1;3;-11)
[/mm]
doch die lösung, wo dann der kugelmittelpunkt ist, hab ich nicht.
zu b) hab ich die lösung leider auch nicht.
aber wie geht das denn? ich hab jetzt zuerst mal den schnittpunkt von gerade und ebene ausgerechnet, der müsste sein S(0;1;1). aber was hilft mir das dann? ich komm einfach nicht weiter...
wär echt nett, wenn ihr mir helfen könntet...!
danke:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Di 22.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
Die Kugel berührt die Ebene ja genau dann, wenn der Mittelpunkt den Abstand des Radius, also 22LE, von der Ebene hat!
Deswegen kannst du mit der hesseschen Normalenfom arbeiten, mit E als Ebene und dem allgemeinen Geradenpunkt von g als Punkt.
Wenn du diesen Abstand =22 setzt, erhälst du 2 Werte für [mm] \mu, [/mm] die du dann wieder in g einsetzen kannst, um deine Mittelpunkte zu erhalten.
Auf die Berührpunkte bist du selber gekommen?
b)
Der Schnittkreis ist dann am größten, wenn der Mittelpunkt der Kugel direkt mit dem Schnittpunkt von g und E zusammenfallen würde! b) kannst du also nun aus dem Stehgreif beantworten, da du den Punkt ja schon hast.
Liegt daran, dass r²=22²-[d(M,E)²] ist, also der Radius des Schnittkreises²=Radius der Kugel² (22²)- Abstand von Mittelpunkt der Kugel und Ebene². Und wenn letzteres am kleinsten wird, wird r² am größten.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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vielen vielen dank für deine hilfe! jetzt hab ich das kapiert mit den mittelpunkten!
nein, die berührpunkte standen im lösungsheft:)
aber jetzt, wo ich die mittelpunkte hab, hab ich das auch rausbekommen!
und b) hab ich jetzt denk ich auch einigermaßen kapiert!
also nochmals vielen dank!
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der beitrag eben war egtl nicht als frage gedacht:)
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