Kugel und Kugel < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Ist die Entfernung der Mittelpunkte zweier Kugeln größer als die Differenz und kleiner als die Summe ihrer Radien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Kreis. Zeigen Sie dass sich die Kugeln
[mm] K_{1}:\left[\vec{x}-\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}\right]^{2}=36 [/mm] und [mm] K_{2}:\left[\vec{x}-\vektor{4 \\ 5 \\ 1}\right]^{2}=4 [/mm] schneiden, und bestimmen Sie die Schnittebene. Lösen Sie auf zwei Arten:
1. mithilfe der Strecke, die die Mittelpunkte verbindet.
2. mithilfe der Koordinatengleichungeen der Kugeln. Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt die Darstellung einer Ebene, in der alle Punkte liegen, die zu beiden Kugeln gehören. |
Hi!
Mit der zweiten Art hätt ich gar kein Problem, dass wäre auch das wie ich vorgegangen wäre, aber bei der 1.Art bin ich ein bisschen begriffsstutzig. Was soll ich mit der Strecke machen? Ich hätte mir höchstens gedacht, dass die Gerade die durch beide Mittelpunkte geht. Den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor hat. Aber da fehlt ja noch ein Stützvektor. Das wäre dann einer der Schnittpunkte. Aber die bekomm ich doch wieder nur, wenn ich die beiden Kugeln gleichsetze, voneinander abziehe usw...
hmm.
Vielen Dank und liebe Grüße
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
noch ne Frage:
hier stand ja, dass ich wenn ich die eine Gleichung von der anderen abziehe, die Ebenengleichung bekomme... Wie krieg ich denn dann den Schnittkreis?
LG
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 17.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo nochmal,
> Wie krieg ich denn dann den Schnittkreis?
der ist gegeben durch die Ebene, in der er liegt, den Mittelpunkt, den du als Lotfusspunkt des Kugelmittelpunktes auf die Ebene ermittelst und den Radius, der sich durch eine einfache Überlegung aus dem Satz des Pythagoras ergibt.
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 17.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Kerstin,
> Ist die Entfernung der Mittelpunkte zweier Kugeln größer
> als die Differenz und kleiner als die Summe ihrer Radien,
> dann schneiden sich die Kugeln in einem Kreis. Zeigen Sie
> dass sich die Kugeln
> [mm]K_{1}: [\vec{x}-\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}]^{2}=36[/mm] und [mm]K_{2}: [\vec{x}-\vektor{4 \\ 5 \\ 1}]^{2}=4[/mm]
> schneiden, und bestimmen Sie die Schnittebene. Lösen Sie
> auf zwei Arten:
> 1. mithilfe der Strecke, die die Mittelpunkte verbindet.
> 2. mithilfe der Koordinatengleichungeen der Kugeln. Die
> Differenz der beiden Gleichungen ergibt die Darstellung
> einer Ebene, in der alle Punkte liegen, die zu beiden
> Kugeln gehören.
> Hi!
>
> Mit der zweiten Art hätt ich gar kein Problem, dass wäre
> auch das wie ich vorgegangen wäre, aber bei der 1.Art bin
> ich ein bisschen begriffsstutzig. Was soll ich mit der
> Strecke machen? Ich hätte mir höchstens gedacht, dass die
> Gerade die durch beide Mittelpunkte geht. Den
> Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor hat. Aber da
> fehlt ja noch ein Stützvektor. Das wäre dann einer der
> Schnittpunkte.
deine Überlegungen sind völlig richtig.
> Aber die bekomm ich doch wieder nur, wenn
> ich die beiden Kugeln gleichsetze, voneinander abziehe
es ginge auch elementargeometrisch. Mache dir eine Skizze zweier Kreise die sich schneiden,
zeichne $d, [mm] r_1, r_2$ [/mm] so ein, daß ein Dreieck entsteht, bestimme den bei [mm] $M_1$ [/mm] (Mittelpunkt des Kreises 1) liegenden Winkel mit dem Kosinus-Satz und verwende diesen cos-Wert dann, um den Abstand der Schnittebene von [mm] $M_1$ [/mm] anzugeben. Mit diesem Abstand kannst du dann einen Punkt auf der Strecke [mm] $M_1M_2$ [/mm] finden, der als Ortsvektor taugt.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi Willi!=)
Hmm, der Kosinussatz... das ist aber schon laaaange bei mir her... gilt der nur für rechtwinklige Dreiecke? Oder für allgemeine Dreiecke?
Liebe Grüße
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi Will!
...sorry... *lach*...is gestern abend spät geworden...
Ich hab meine Rechnung mit Skizze mal angehangen... hab da so einen komischen Wert für den Abstand raus...Das wird kein schöner Ortsvektor...
Habs extra numeriert, damit man sieht was ich zuerst gemacht habe...
Stimmt das tatsächlich so??
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Kerstin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Do 17.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Stimmt das tatsächlich so??
die Berechnung von [mm] $\cos \alpha$ [/mm] ist OK. Danach leider nicht mehr.
Wenn wir den Abstand der Ebene von [mm] $M_1$ [/mm] mit [mm] $d_1$ [/mm] bezeichnen, dann ist:
[mm] $\cos \alpha [/mm] = [mm] \frac{d_1}{r_1}$
[/mm]
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ok, also nur umgedreht.
dann wäre [mm] d_{1}=\bruch{61}{2*\wurzel{29}}?
[/mm]
Aber trotzdem sehr unschön...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ich hab das jetzt noch mal mit dem Ergebnis gerechnet und überprüft ob der errechnete Punkt auf der Ebene liegt. Tut er aber nich... *heul*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 17.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ok, also nur umgedreht.
> dann wäre [mm]d_{1}=\bruch{61}{2*\wurzel{29}}?[/mm]
> Aber trotzdem sehr unschön...
aber korrekt.
Wenn die Überprüfung bei dir fehlschlägt, dann poste mal deine Rechnung.
Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist
[mm] $\vektor{247/58 \\ 148/29 \\ 1}$
[/mm]
LG Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
ok, hier meine Rechnung.
Vielleicht hab ich meine Eben nach der 2.Art versemmelt...
Muss nochmal suchen...
Liebe Grüße
Kerstin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Do 17.04.2008 | | Autor: | Kueken |
hab wohl beides versemmelt ;(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 17.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerstin!
Auf der ersten Seite muss es nach Subtraktion der beiden Kugelgleichungen heißen:
[mm] $$E_k [/mm] \ : \ [mm] 2*x_1-(-8*x_1)+4*x_2 [/mm] \ = \ [mm] 2*x_1 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 8*x_1+4*x_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{10}*x_1+4*x_2 [/mm] \ = \ 63$$
Auf der 2. Seite muss es bei (3.) lauten:
[mm] $$\red{\sin}(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{d_1}{6}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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http://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz
