Kugelgleichung u Tangentialebe < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mi 03.01.2007 | | Autor: | robert23 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Kugel k: [mm]\vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x - 35 = 0[/mm] und die Geraden g:[mm] \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] und h:[mm] \vec x=\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
a) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S1 und S2 der Geraden g mit der Kugel k.
b) Gib Gleichungen der Tangentialebenen von k in S1 und S2 in Normalenform an. |
Hey erstmal!
Ich habe eine Kugelgleichung in der Form noch nie gesehen. Mich verwirrt der zusätzliche Vektor [mm] \vec x [/mm] in der Gleichung.
Ich habe es bei Aufgabe (a) noch einfach so gemacht das ich von dem Mittelpunkt M(6x | 2y | 2z) ausgegangen bin (durch Multiplikation mit dem Vektor [mm] \vec x [/mm] ) und habe dann die Kugelgleichung Koordinatenweise aufgeschrieben, die Gerade eingesetzt und bin dann zu den Schnittpunkten S1(5|4|4) und S2(-3|4|0) .
So weit so gut. Nun das Problem bei Aufgabe (b) ich könnte jetzt Seiten schreiben was ich schon alles ausprobiert habe aber irgendwie stört am Ende immer der Vektor [mm] \vec x [/mm] . Ich hoffe stark das mir hier jemand weiter helfen kann.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 04.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Robert
Herzlich
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind die Kugel k: [mm]\vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x - 35 = 0[/mm]
> und die Geraden g:[mm] \vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und h:[mm] \vec x=\begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> a) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S1 und S2 der
> Geraden g mit der Kugel k.
> b) Gib Gleichungen der Tangentialebenen von k in S1 und S2
> in Normalenform an.
> Hey erstmal!
>
> Ich habe eine Kugelgleichung in der Form noch nie gesehen.
> Mich verwirrt der zusätzliche Vektor [mm]\vec x[/mm] in der
> Gleichung.
Du kannst die Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung umschreiben:
[mm]\vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x - 35 = 0[/mm]
$ = [mm] \vec x^2 [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec [/mm] x + [mm] (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] - [mm] (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] -35 = 0 $
$ = [mm] (\vec [/mm] x - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] - [mm] (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] -35 = 0 $
$ = [mm] (\vec [/mm] x - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] -14 -35 = 0 $
$ = [mm] (\vec [/mm] x - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] - 49 = 0 $
> Ich habe es bei Aufgabe (a) noch einfach so gemacht das
> ich von dem Mittelpunkt M(6x | 2y | 2z) ausgegangen bin
> (durch Multiplikation mit dem Vektor [mm]\vec x[/mm] ) und habe dann
> die Kugelgleichung Koordinatenweise aufgeschrieben, die
> Gerade eingesetzt und bin dann zu den Schnittpunkten
> S1(5|4|4) und S2(-3|4|0) .
Wie du jetzt siehst, ist dein Mittelpunkt falsch. Ich denke aber, dass du jetzt weiterkommst.
>
> So weit so gut. Nun das Problem bei Aufgabe (b) ich könnte
> jetzt Seiten schreiben was ich schon alles ausprobiert habe
> aber irgendwie stört am Ende immer der Vektor [mm]\vec x[/mm] . Ich
> hoffe stark das mir hier jemand weiter helfen kann.
Wenn du bei b) jetzt doch noch Hilfe brauchst, melde dich bitte.
Gruß
Sigrid
>
> Danke!
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 04.01.2007 | | Autor: | robert23 |
> Du kannst die Gleichung mit Hilfe der quadratischen
> Ergänzung umschreiben:
>
> [mm]\vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x - 35 = 0[/mm]
>
> [mm]= \vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x + (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -35 = 0[/mm]
>
> [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -35 = 0[/mm]
>
> [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -14 -35 = 0[/mm]
>
> [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - 49 = 0[/mm]
Die zweite Zeile hast du ergänzt durch [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] - [mm] (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 [/mm] jedoch verstehe ich an dem Punkt nicht genau wieso gerade mit den Werten 3 | 1 | -2 ..klar sehe ich das es die Hälfte ist von dem Vektor [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] - jedoch verstehe ich gerade den mathematischen zusammenhang nicht. Wäre sehr schön wenn du mir da nochmal auf die sprünge helfen könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Robert,
> > Du kannst die Gleichung mit Hilfe der quadratischen
> > Ergänzung umschreiben:
> >
> > [mm]\vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x - 35 = 0[/mm]
> >
> > [mm]= \vec x^2 - \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \* \vec x + (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -35 = 0[/mm]
>
> >
> > [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - (\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -35 = 0[/mm]
>
> >
> > [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 -14 -35 = 0[/mm]
> >
> > [mm]= (\vec x - \vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2 - 49 = 0[/mm]
>
> Die zweite Zeile hast du ergänzt durch [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2[/mm]
> - [mm](\vektor{3 \\ 1 \\ -2 })^2[/mm] jedoch verstehe ich an dem
> Punkt nicht genau wieso gerade mit den Werten 3 | 1 | -2
> ..klar sehe ich das es die Hälfte ist von dem Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] - jedoch
> verstehe ich gerade den mathematischen zusammenhang nicht.
> Wäre sehr schön wenn du mir da nochmal auf die sprünge
> helfen könntest.
>
Denk an die binomische Formel:
$ [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{m})^2 [/mm] = [mm] \vec{x}^2 [/mm] - 2 [mm] \vec{x} \vec{m} [/mm] + [mm] \vec{m}^2 [/mm] $
also ist:
$ 2 [mm] \vec{x} \vec{m} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] \ [mm] \vec{x} [/mm] $
Alles klar?
Gruß
Sigrid
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| Aufgabe | | d) Begründe: Alle Punkte P, von denen aus zwei feste Punkte P1 und P2 unter einem rechten Winkel erscheinen, liegen auf einer Kugel k*. Wie groß ist der Radius r* von k*? Bestimme die Gleichung dieser Kugel k* für P1=S1 und P2=S2. |
Ok, wie die Punkte P eine Kugel bilden kann ich mir noch vorstellen. Aber beim ausdrücken des r* von k* hapert es noch. Ist der r* nun die Hälfte der Strecke P1P2?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 07.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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