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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 23.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei [mm] \gamma:[a,b] \to \IR^{n} [/mm] ein regulärer Weg, der eine Kurve [mm] \Gamma \subset \IR^{n} [/mm] parametrisiert. Die Bogenlänge s:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] von [mm] \gamma [/mm] ist wie folgt definiert:
[mm] s(t):=\integral_{a}^{t}{||\gamma'(x)|| dx}.
[/mm]
(a) Berechne s(t) für den Weg [mm] \gamma:[1,2] \to \IR^{3} [/mm] mit
[mm] \gamma(t):=\vektor{2t \\ t^{2}\\ln(t)}.
[/mm]
b)Warum nehmen wir an, dass der Weg regulär anstatt stetig differenzierbar ist?
(c)Zeige, dass [mm] s:[a,b]\to[0,l(\gamma)] [/mm] ein Diffeomorphismus für einen regulären Weg. Benutze das, um
[mm] \phi:[0,l(\gamma)]\to \Gamma [/mm] zu parametrisieren ( Die Parametrisierung nach der Bogenlänge)
d)Betrachte die Kurve [mm] \Gamma:= [/mm] {(x,y) [mm] \in \IR^{2}:y^{3}-x^{2}=0}\cap[-1,1]x[-1,1]. [/mm] Ist es möglich, die Kurve stetig differenzierbar zu parametrisieren?Ist es möglich ,die Kurve regulär zu parametrisieren?
Beweise deine Behauptung. |
Hallo,
zu b) :
Ich verstehe nicht , wie man hier vorgehen soll.
Ich brauche eine Starthilfe.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 So 23.10.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sei [mm]\gamma:[a,b] \to \IR^{n}[/mm] ein regulärer Weg, der eine
> Kurve [mm]\Gamma \subset \IR^{n}[/mm] parametrisiert. Die
> Bogenlänge s:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] von [mm]\gamma[/mm] ist wie folgt
> definiert:
> [mm]s(t):=\integral_{a}^{t}{||\gamma'(x)|| dx}.[/mm]
> (a) Berechne
> s(t) für den Weg [mm]\gamma:[1,2] \to \IR^{3}[/mm] mit
> [mm]\gamma(t):=\vektor{2t \\ t^{2}\\ln(t)}.[/mm]
>
> b)Warum nehmen wir an, dass der Weg regulär anstatt stetig
> differenzierbar ist?
> (c)Zeige, dass [mm]s:[a,b]\to[0,l(\gamma)][/mm] ein
> Diffeomorphismus für einen regulären Weg. Benutze das, um
> [mm]\phi:[0,l(\gamma)]\to \Gamma[/mm] zu parametrisieren ( Die
> Parametrisierung nach der Bogenlänge)
> d)Betrachte die Kurve [mm]\Gamma:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(x,y) [mm]\in \IR^{2}:y^{3}-x^{2}=0}\cap[-1,1]x[-1,1].[/mm]
> Ist es möglich, die Kurve stetig differenzierbar zu
> parametrisieren?Ist es möglich ,die Kurve regulär zu
> parametrisieren?
> Beweise deine Behauptung.
>
> Hallo,
>
> zu b) :
> Ich verstehe nicht , wie man hier vorgehen soll.
> Ich brauche eine Starthilfe.
mach Dir klar, was regulär bedeutet und überlege, was das für Konsequenzen für die Kurvenlänge hat, bzw. was wäre, wenn sie nicht regulär wäre?
>
>
>
> Gruss
> Igor
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 23.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es gilt [mm] s'(t)=||\gamma'(t)|| [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,1].
Wenn [mm] \gamma'(c)=0 [/mm] für c [mm] \in [a,b]\cap [/mm] ]0,1[, dann
gilt s'(c)=0.Das würde bedeuten, dass s nicht streng monoton wachsend ist.
Die Bogenlänge(funktion) ist aber streng monoton wachsend (oder?).
Stimmt das ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 23.10.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
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> es gilt [mm]s'(t)=||\gamma'(t)||[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,1].
> Wenn [mm]\gamma'(c)=0[/mm] für c [mm]\in [a,b]\cap[/mm] ]0,1[, dann
> gilt s'(c)=0.Das würde bedeuten, dass s nicht streng
> monoton wachsend ist.
> Die Bogenlänge(funktion) ist aber streng monoton wachsend
> (oder?).
> Stimmt das ?
Ich denke, das stimmt.
Regulär bedeutet, dass die Ableitung nirgends verschwindet.
Welche Konsequenzen für die Bogenlänge ergäben sich, wenn die Ableitung und damit [mm] $||\gamma'(t)||$ [/mm] eine Nullstelle hätte?
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 23.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
habe ich damit z.B nicht gezeigt, dass s dann nicht wohldefiniert (im Sinne der strengen Monotonie)ist?
Das wäre z.B eine Konsequenz, oder?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 So 23.10.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
> habe ich damit z.B nicht gezeigt, dass s dann nicht
> wohldefiniert (im Sinne der strengen Monotonie)ist?
> Das wäre z.B eine Konsequenz, oder?
>
> Gruss
> Igor
Mag sein, dass Du das Gleiche meinst. Ich habe noch nie wirklich verstanden, was wohldefiniert heißt.
Aber das mit der strengen Monotonie ist es im Prinzip. Die Integration über Nullstellen birgt gewisse Risiken, deshalb setzt man eine reguläre Kurve voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 So 23.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich weiß nicht, ob ich mich formal richtig mit Wohldefiniertheit ausgedruckt habe.Aber, im Prinzip wollte ich damit sagen, dass aus s singulär ein Widerspruch
bezüglich der strengen Monotonie folgt ( wenn die Argumentation richtig war).
Deshalb soll s regulär sein, damit es nicht zum Widerspruch kommt.
Wenn das ok ist, dann brauchst Du darauf nicht antworten.
Danke Dir für Hinweise !
Gruss
Igor
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe Frage zu c) :
hier soll man unter anderem zeigen, dass die Umkehrfunktion von s stetig differenzierbar ist. Ich vermute, dass man diese zuerst explizit angeben soll.
Sei g die Umkehrfunktion von s. Dann g(y)=t mit [mm] y=\integral_{a}^{t}{||\gamma'(x)|| dx} [/mm] und t [mm] \in [/mm] [0,1].
Ich denke, dass man die rechte Seite mit Hilfe von einer Funktion g so umformt, dass dort nur t stehen bleibt. Aber ich weiß nicht wie.
Eine Stammfunktion von [mm] ||\gamma'|| [/mm] ist s(x).
Dann gilt nach dem Fundamental Satz über Differential und Integralrechnung s(t)=s(t)-s(a).
Bringt das mich weiter, um die Umkehrfunktion zu bestimmen?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe überlegt, dass die Umkehrfunktion nach dem Umkehrsatz stetig differenzierbar ist.
Stimmt das ?
Gruss
Igor
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe überlegt, dass die Umkehrfunktion nach dem
> Umkehrsatz stetig differenzierbar ist.
>
> Stimmt das ?
>
>
> Gruss
> Igor
das hört sich schon gut an. Wenn Du Deine Argumentation etwas genauer erläutern würdest, könnten wir besser beurteilen, ob alles richtig ist.
gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe Frage zu c)
[mm] \phi [/mm] soll die Parametrisierung nach Bogenlänge sein.
Ich denke, dass das folgendes bedeutet:
[mm] \gamma [/mm] hängt jetzt von g(s) ab, wobei g die Umkehrfunktion von s und s der neue Parameter sind.
Also [mm] \phi(s)=\gamma(g(s)) [/mm] soll gelten. Reicht das zur Angabe der Parametrisierung nach Bogenlänge?Oder soll/kann man g explizit bestimmen?
Mir ist unklar, warum [mm] \phi [/mm] auf [mm] [0,l(\gamma)] [/mm] definiert ist?
Heißt das nicht dann, dass der neue Parameter s [mm] \in [0,l(\gamma)] [/mm] sein muss?
Z.B muss überhaupt s dann den Wert [mm] l(\gamma) [/mm] annehmen?
Und was passiert, wenn die Bogenlänge für jedes t [mm] \in [/mm] [0,1],also s(t), kleiner als die Weglänge [mm] l(\gamma) [/mm] ist? Dann nimmt s niemals den Wert [mm] l(\gamma)an.
[/mm]
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe Frage zu c)
>
> [mm]\phi[/mm] soll die Parametrisierung nach Bogenlänge sein.
> Ich denke, dass das folgendes bedeutet:
> [mm]\gamma[/mm] hängt jetzt von g(s) ab, wobei g die
> Umkehrfunktion von s und s der neue Parameter sind.
> Also [mm]\phi(s)=\gamma(g(s))[/mm] soll gelten. Reicht das zur
> Angabe der Parametrisierung nach Bogenlänge?
Ja
> Oder soll/kann
> man g explizit bestimmen?
Manchmal kann mans, manchmal nicht.
> Mir ist unklar, warum [mm]\phi[/mm] auf [mm][0,l(\gamma)][/mm] definiert
> ist?
Die Weglängenfunktion s:[0,1] [mm] \to [0,l(\gamma)] [/mm] ist doch stetig und wachsend mit s(0)=0 und [mm] s(1)=l(\gamma). [/mm] Dammit ist s surjektiv und der Def. bereich von [mm] s^{-1} [/mm] ist das Intervall [mm] [0,l(\gamma)] [/mm]
> Heißt das nicht dann, dass der neue Parameter s [mm]\in [0,l(\gamma)][/mm]
> sein muss?
Ja
> Z.B muss überhaupt s dann den Wert [mm]l(\gamma)[/mm] annehmen?
> Und was passiert, wenn die Bogenlänge für jedes t [mm]\in[/mm]
> [0,1],also s(t), kleiner als die Weglänge [mm]l(\gamma)[/mm] ist?
> Dann nimmt s niemals den Wert [mm]l(\gamma)an.[/mm]
Es ist s(1) = [mm] l(\gamma)
[/mm]
FRED
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
1.mir ist unklar, was der Unterschied zwischen der Definition der Bogenlängenfunktion und der Definition der Weglängnenfunktion ist.
Ich habe beide Definitionen angeschaut und konnte keine Unterschiede feststellen.
Was der Unterschied zwischen Weg und Bogen ist, ist mir klar.
Wenn man einen Bogen anschaut, dann kann seine Länge kleiner als die Länge eines Weges bezüglich dieses Bogens sein.
Deshalb vermute ich, dass die Weglängenfunktion größeren Wertebereich haben kann, als der Wertebereich der Bogenlängenfunktion .
2. @fred97 : Ist Deine Weglängenfunktion s dieselbe Funktion wie in der Aufgabenstellung? Wenn ja , warum nennst Du diese Weglängenfunktion und nicht Bogenlängenfunktion wie in der Aufgabenstellung?
Wenn die von Dir angegebene Funktion eine andere als in der Aufgabenstellung ist, dann warum bezeichnest Du diese mit s (diese Bezeichnung steht für die Bogenlängenfunktion aus der Aufgabenstellung)?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 30.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
stimmt es, dass die Bogenlängenfunktion und die Weglängenfunktion "fast" dassselbe ist? Mit "fast" meine ich, dass bei der Bogenlängenfunktion nur Jordanwege betrachtet werden.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja für Jordankuven ist Weglänge und Bogenlänge dasselbe.
Grus leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 So 30.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es ist merkwürdig , dass in der Aufgabenstellung die Bogenlängenfunktion für allgemeine Wege definiert ist. Eigentlich ist es sinnvoll nur für Jordanwege zu definieren. Ist es also eine Ungenauigkeit in der Aufgabenstellung oder kann man die Aufgabenstellung irgendwie rechtfertigen?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 01.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 30.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe Frage zu d) :
Ich denke, dass hier nach einem stetig differenzierbaren Weg f:[a,b] [mm] \to \IR^{2} [/mm] gefragt ist, der diese Punktmenge [mm] \Gamma [/mm] parametrisiert.
Ich weiß nicht so genau, wie man hier vorgehen soll.
Ich brauche eine Starthilfe.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe Frage zu d) :
>
> Ich denke, dass hier nach einem stetig differenzierbaren
> Weg f:[a,b] [mm]\to \IR^{2}[/mm] gefragt ist, der diese Punktmenge
> [mm]\Gamma[/mm] parametrisiert.
>
> Ich weiß nicht so genau, wie man hier vorgehen soll.
>
> Ich brauche eine Starthilfe.
Wie wärs mit [mm] x=t^3 [/mm] und [mm] y=t^2 [/mm] ?
Zur Orientierung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Neilsche_Parabel
http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Kurve
FRED
>
>
>
> Gruss
> Igor
>
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:23 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich soll prüfen, ob [mm] \Gamma [/mm] regulär parametrisiert werden kann.
Dazu habe ich einen Beweis gefunden (Diesen habe ich per google gefunden.
Dazu habe ich folgendes in google eingegeben neilsche parabel reguläre parametrisierung.Dann habe ich den ersten gefundenen Eintrag ausgewählt(ps-Datei). Hausaufgabe 5 (3) , dazu Musterlösung.
), bei dem mir folgendes unklar ist:
Zuerst: Ich nehme an, dass f Parametrisierung von K sein soll (Weil dort das nicht explizit steht)
Warum existieren die angegebenen Punkt [mm] t_{0}
für [mm] t_{0}
Es gilt dort [mm] y^{2}=x^{3}. [/mm] D.h [mm] x^{3}\ge [/mm] 0. [mm] \alpha(t) [/mm] muss dann auch [mm] \ge [/mm] 0 sein?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mo 31.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich zumindest hab keine Lust nach deinen Angaben ne ps Datei zu suchen.
Warum schreibst du deinen beweis nicht auf?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:00 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
der Beweis:
Behauptung: Es gibt keine reguläre Parametrisierung für K.
Sei f: t [mm] \to \vektor{\alpha (t) \\ \beta (t)} [/mm] eine stetig diffbare Parametrisierung.Da f [mm] \in C^{1}ist, [/mm] existieren Punkte [mm] t_{0}< t_{1}0 [/mm] für [mm] t_{1}
[mm] (\beta(t))^{2} [/mm] ist für alle t [mm] \in (s_{0},s_{2}) [/mm] mit t [mm] \not= t_{1}
[/mm]
[mm] \alpha '(t)=\bruch{2\beta(t)\beta '(t)}{3(\beta(t))^{\bruch{4}{3}}} [/mm] (*)
Folglich ist [mm] \alpha [/mm] '(t)<0 für t [mm] \in (s_{0},t_{1}) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] '(t)>0 für t [mm] \in (t_{1},s_{2}).Wegen [/mm] Zwischenwertsatz ist [mm] \alpha '(t_{1})=0. [/mm] Da [mm] \alpha [/mm] ', [mm] \beta [/mm] ' stetige Funktionen sind, folgt aus (*), dass [mm] \alpha '(t_{1}) [/mm] nur dann gleich null sein kann, wenn [mm] \beta '(t_{1})=0 [/mm] ist. Denn wäre [mm] \beta '(t_{1}) \not=0, [/mm] so gilt [mm] \limes_{t\rightarrow\inftyt_{1}}|\alpha '(t)|=\infty. [/mm] Widerspruch. Also ist f nicht regulär.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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