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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Fr 04.01.2008 | | Autor: | jango |
| Aufgabe | Die Funktion f: x -> [mm] ax^4 [/mm] +bx³+cx
besitzt bei x = 1 einen Wendepunkt mit der Wendetangente t: 2x+4y+2=0
Bestimme a, b und c. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.k-foren.de/showthread.php?t=103776
Wie rechne ich sowas, kann mir das jemand verständlich erklären? Wäre für Hilfe sehr dankbar, hab Schularbeit am Freitag
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zuerst musst du dir mal überlegen, wieviele Variablen du bestimmen musst, genauso viele Gleichungen musst du aus den gegeben Angaben hernehmen
Hier hast du drei Variablen, also brauchst du drei Bedingungen.
Jetzt denke mal daran, wie man bei einer Funktion Punkte auf den Graph bestimmt, die man die Steigung an bestimmte Stellen bestimmt, und was die notwendigen Bedingungen für Extrem- und Wendestellen sind.
Das ist eigentlich auch schon die nötigen "Rüstmittel"
Zu deiner Aufgabe.
Hier stelle erstmal die Wendetangente in der Form y=mx+b auf.
t: 2x+4y+2=0
[mm] \gdw y=-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}
[/mm]
Das heisst die Steigung der Tangente ist [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Jetzt hast du einen x-Wert gegeben, an dem diese Gerade Tangent ist. Also liegt der Punkt auf der Tangente auch auf f(x).
Hier ist x=1, also t(1)=f(1)=1.
Also weisst du, dass f(1)=1 sein soll (1. Bedingung)
Weiterhin weisst du, dass f(x) an dem Wendepunkt die Steigung [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] hat, und die Ableitung einer Funktion die Steigung angibt.
Also [mm] f'(1)=-\bruch{1}{2} [/mm] (2. Bed.)
Und dieser Punkt ist eine Wendepunkt, fur den die notwendige Bedingung f''(x)=0 ist, also f''(1)=0 (3. Bed.)
Bilden wir jetzt noch die Ableitungen von [mm] f(x)=ax^{4}+bx²+cx
[/mm]
[mm] f(x)=ax^{4}+bx³+cx
[/mm]
[mm] f'(x)=4ax^{3}+3bx²+c
[/mm]
[mm] f''(x)=12ax^{2}+6bx
[/mm]
Jetzt kannst du die drei Bedingungen in drei Gleichungen verwandeln, also
f(1)=1
[mm] \Rightarrow a*1^{4}+b*1³+c*1=1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a+b+c=1
[mm] f'(1)=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4a*1^{3}+3b*1²+c=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw 4a+3b+c=-\bruch{1}{2}
[/mm]
f'(1)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] 12a*1²+6b*1=0
[mm] \gdw [/mm] 12a+6b=0
[mm] \gdw [/mm] 2a+b=0
Daraus erstellst du jetzt folgendes LGS, das du noch lösen musst.
[mm] \vmat{a+b+c=1\\4a+3b+c=-\bruch{1}{2}\\2a+b=0}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 04.01.2008 | | Autor: | jango |
Dank dir!
Eins versteh ich aber nicht: Wie kommt man von
t: 2x+4y+2=0
auf
$ [mm] \gdw y=-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2} [/mm] $
Wieso -1/2x - 1/2 und nicht +1/2x + 1/2 ? Wo kommt das Minus her?
Und wie löse ich am einfachsten das Gleichungssystem, mit dem Eliminationsverfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dank dir!
>
> Eins versteh ich aber nicht: Wie kommt man von
>
> t: 2x+4y+2=0
>
> auf
>
> [mm]\gdw y=-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wieso -1/2x - 1/2 und nicht +1/2x + 1/2 ? Wo kommt das
> Minus her?
>
2x+4y+2=0
[mm] \gdw [/mm] 2x+4y=-2
[mm] \gdw [/mm] 4y=-2x-2
[mm] \gdw y=-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}
[/mm]
>
> Und wie löse ich am einfachsten das Gleichungssystem, mit
> dem Eliminationsverfahren?
Gute Frage, ich würde hier (auch generell) das Additionsverfahren bevorzugen, aber das ist dir überlassen. Nimm das, was dir am besten gefällt.
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Sa 05.01.2008 | | Autor: | jango |
danke sehr, jetzt kenn ich mich aus!
lg jango
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