Kurvendiskussion periodische < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 21.07.2008 | | Autor: | gonzo21 |
| Aufgabe | | f(x)=e^sin(phi*x) |
Habe heute Klausur geschrieben und sollte eine Kurvendiskussion dieser Funktion machen.... war leider blank...
helft mir bitte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wobei hat es denn "gehakt"?
[mm] f(x)=e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
Nullstellen hat diese Funktion ja nicht, denn [mm] e^{z}\ne0
[/mm]
[mm] f(0)=e^{\sin(\phi*0)}=e^{\sin(0)})=e^{0}=1
[/mm]
Für die erste Ableitung brauchst du die doppelte Kettenregel.
[mm] e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
Dazu definiere mal
[mm] h(x)=\phi*x
[/mm]
[mm] g(y)=\sin(y)
[/mm]
[mm] f(z)=e^{z}
[/mm]
Also ist [mm] f(g(h(x)))=e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
Jetzt mal zu [mm] \left(f(g(h(x))))\right)'
[/mm]
[mm] \left(f(g(h(x))))\right)'=f'(g(h(x))*\green{\left(g(h(x))\right)'}
[/mm]
Für den Grün markierten Teil brauchst du nochmal die Kettenregel.
Also [mm] \left(f(g(h(x))))\right)'=f'(g(h(x))*\green{g'(h(x))*h'(x)}
[/mm]
Somit:
[mm] \left(e^{\sin(\phi*x)}\right)'=\underbrace{e^{\sin(\phi*x)}}_{f'(g(h(x))}*\underbrace{\cos(\phi*x)}_{g'(h(x))}*\underbrace{\phi}_{h'(x)}
[/mm]
Und diese Ableitung hat Nullstellen, als gibt es wahrscheinlich Extremstellen.
[mm] f(x)=e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\phi*\cos(\phi*x)*e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
Die Zweite Ableitung musst du jetzt per Produktregel (und Kettenregel) bilden.
Dazu definiere mal [mm] u(x)=\phi*\cos(\phi*x) [/mm] und [mm] v(x)=e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
Also: [mm] f''(x)=\underbrace{\phi*\cos(\phi*x)}_{u}*\underbrace{\phi*\cos(\phi*x)*e^{\sin(\phi*x)}}_{v'}+\underbrace{(-\phi^{2}*\sin(x)}_{u'}*\underbrace{e^{\sin(\phi*x)}}_{v}
[/mm]
[mm] =\phi*\cos(\phi*x)*\phi*\cos(\phi*x)*e^{\sin(\phi*x)}-\phi^{2}*\sin(x)*e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
[mm] =\left(\phi*\cos(\phi*x)*\phi*\cos(\phi*x)-\phi^{2}*\sin(x)\right)*e^{\sin(\phi*x)}
[/mm]
=....
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 21.07.2008 | | Autor: | gonzo21 |
das problem bei der ganzen sach war, dass kein bereich angegeben war, in dem die funktion betrachtet werden soll, d.h. es gibt unendlich viele hoch und tiefpunkte... ebenso verhält es sich mid den wendepunkten ... nun wusste ich nicht wie ich dieses formulieren sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Dann nutze die Periodizität der Sinus und Cosinusfunktion.
[mm] \sin(x) [/mm] hat eine Nullstellen bei x=0 und und [mm] \cos(x) [/mm] hat eine bei [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] (Bogenmass)
Und da die Nullstellen sich im Abstand von [mm] \pi [/mm] wiederholen, gilt für die Menge der Nullstellen des Sinus: [mm] N_{\sin}=\{x|x=k*\pi, k\in\IZ\}
[/mm]
Für den Cosinus gilt entsprechend:
[mm] N_{\cos}=\{x|x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}, k\in\IZ\}
[/mm]
Jetzt musst du diese Info nur noch an deine Aufgabe "anpassen"
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 21.07.2008 | | Autor: | gonzo21 |
DANKE!
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