LGS mit Unbekannten hinterm = < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 23.11.2010 | | Autor: | cmf |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für welche [mm] \alpha,\beta,\gamma\in\IR [/mm] das folgende lineare Gleichungssystem über [mm] \IR [/mm] lösbar ist:
[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha
[/mm]
[mm] 3x_1 +x_3=\beta
[/mm]
[mm] 3x_2+x_3 =\gamma
[/mm]
Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge an. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe das LGS in eine Matrix übertragen und durch elementare Zeilenumformung folgende Stufenform gebildet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\ 0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\ 0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma }
[/mm]
Daraus habe ich folgende neue Matrix gebastelt:
[mm] \pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} | x_1 \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 | x_2 \\ 3 & -1 & -1 | x_3 }
[/mm]
Angenommen [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] dann ergibt sich die untere Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 \\ 3 & -1 & -1 }
[/mm]
Auch hier habe ich wieder die Stufenform gebildet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm] \alpha=x_1, \beta=x_2 [/mm] und [mm] \gamma=x_3 [/mm] gelten muss, damit das LGS lösbar ist.
Indem man in dem LGS aus der Aufgabenstellung [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] durch [mm] \alpha, \beta,\gamma [/mm] ersetzt, zeigt sich, dass [mm] \alpha=\beta=\gamma=0 [/mm] gilt und daraus folgt [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] was ich als Lösungsmenge des LGS ansehen würde...
Ergibt das Sinn oder hab ich totalen Quatsch gemacht?
Gruß
Adrian
|
|
| |
|
Hallo cmf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie für welche [mm]\alpha,\beta,\gamma\in\IR[/mm] das
> folgende lineare Gleichungssystem über [mm]\IR[/mm] lösbar ist:
>
> [mm]x_1+x_2+x_3=\alpha[/mm]
> [mm]3x_1 +x_3=\beta[/mm]
> [mm]3x_2+x_3 =\gamma[/mm]
>
> Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge an.
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also ich habe das LGS in eine Matrix übertragen und durch
> elementare Zeilenumformung folgende Stufenform gebildet:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\ 0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\ 0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma }[/mm]
Hier kannst Du schon aufhören,
da das LGS eindeutig lösbar ist.
>
> Daraus habe ich folgende neue Matrix gebastelt:
>
> [mm]\pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} | x_1 \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 | x_2 \\ 3 & -1 & -1 | x_3 }[/mm]
>
> Angenommen [mm]x_1=x_2=x_3=0,[/mm] dann ergibt sich die untere
> Koeffizientenmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 2 & - \bruch{1}{3} & - \bruch{2}{3} \\ 1 & - \bruch{1}{3} & 0 \\ 3 & -1 & -1 }[/mm]
>
> Auch hier habe ich wieder die Stufenform gebildet:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm]\alpha=x_1, \beta=x_2[/mm]
> und [mm]\gamma=x_3[/mm] gelten muss, damit das LGS lösbar ist.
> Indem man in dem LGS aus der Aufgabenstellung [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]
> durch [mm]\alpha, \beta,\gamma[/mm] ersetzt, zeigt sich, dass
> [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] gilt und daraus folgt [mm]x_1=x_2=x_3=0,[/mm]
> was ich als Lösungsmenge des LGS ansehen würde...
>
> Ergibt das Sinn oder hab ich totalen Quatsch gemacht?
>
> Gruß
> Adrian
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 25.11.2010 | | Autor: | cmf |
Danke,
jetzt weiß ich also, dass das LGS eindeutig lösbar ist, aber die Lösungsmenge soll in diesem Fall auch noch angegeben werden...
Wie komme ich jetzt auf eine Lösungsmenge?
|
|
|
| |
|
Hallo cmf,
> Danke,
> jetzt weiß ich also, dass das LGS eindeutig lösbar ist,
> aber die Lösungsmenge soll in diesem Fall auch noch
> angegeben werden...
> Wie komme ich jetzt auf eine Lösungsmenge?
Das steht doch da! Kannst du so ablesen!
Ich zitiere (oder tippe ab  ):
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 | 2\alpha - \bruch{1}{3}\beta - \bruch{2}{3}\gamma \\
0 & 1 & 0 | \alpha - \bruch{1}{3}\beta \\
0 & 0 & 1 | 3\alpha - \beta - \gamma }[/mm]
(na gut, war rauskopiert )
Was steht denn in der letzten Zeile?
Was in der zweiten und was in der ersten?
Übertrage es zurück in Gleichungsschreibweise, wenn du es nicht siehst ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo, rechne unbedingt alles noch einmal durch
[mm] x_1=-\alpha+\bruch{2}{3}\beta+\bruch{1}{3}\gamma
[/mm]
[mm] x_2=-\alpha+\bruch{1}{3}\beta+\bruch{2}{3}\gamma
[/mm]
[mm] x_3=3\alpha-\beta-\gamma
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Do 25.11.2010 | | Autor: | cmf |
Natürlich.. ich dachte mit Lösungsmenge wäre etwas wie [mm] \alpha=...; \beta=...;\gamma=... [/mm] gemeint
Danke Euch
|
|
|
|
