L Zerf.körper, [L:K] teilt n! < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Heffa |
| Aufgabe | Es sei L ein Zerfällungskörper eines Polynoms g [mm] \in [/mm] K[X] mit Grad(g)=n>0. Zeigen sie:
[L:K] ist ein Teiler von n! |
Hi,
ich hab mir schon einige Gedanken zur Aufgabe gemacht, bekomme den letzten Schritt aber nicht hin.
Soweit bin ich bisher:
L ist Zerfällungskörper von g, also ist [mm] L=K(a_{1},...,a_{n})
[/mm]
wobei [mm] a_{i} [/mm] die Nullstellen sind. [mm] a_{i}=a_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j kann vorkommen, macht aber denke ich nichts.
Dann eine Induktion über n:
Induktionsannahme:
[mm] [K(a_{1},...,a_{n-1}):K] [/mm] teilt (n-1)!
Induktionsanfang n=1:
[mm] L=K(a_{1}). [/mm] n=1 -> g linear -> [mm] a_{1} \in [/mm] K, [mm] [K(a_{1}) [/mm] : K] = 1 teilt 1!
Induktionsschritt:
Gradsatz [mm] [K(a_{1},...,a_{n}):K] [/mm] = [mm] [K(a_{n},...a_{1}):K(a_{1})] [/mm] * [mm] [K(a_{1}):K]
[/mm]
Für [mm] [K(a_{n},...a_{1}):K(a_{1})] [/mm] passt die Induktionsvorraussetzung und es teilt (n-1)!.
[mm] a_{1} [/mm] ist Nullstelle von g , Grad(g)=n, also kann das [mm] Mipo_{K} (a_{1}) [/mm] maximal den Grad g haben und [mm] Mipo_{K}(a_{1})|g.
[/mm]
Zuzeigen ist noch dass das Produkt vom Gradsatz oben n! teilt. Falls [mm] Mipo_{K} (a_{1})=g [/mm] passt es auf jeden Fall: Der erste Faktor teilt (n-1)! und der zweite ist n. Damit teilt das Produkt sicher n!.
Aber was ist wenn das [mm] Mipo_{K}(a_{1}) [/mm] kleiner g ist ? Dann könnte es ja z.B sein dass der erste und zweite Faktor n-1 sind und das Produkt dann n! nicht teilt !? Das muss man denke ich noch irgendwie ausschließen, aber ich komm einfach nicht drauf.
Ich hoffe der Ansatz ist nicht schon falsch.
Wäre klasse wenn mir jemand einen Tipp geben kann wie ich hier weiter komme.
Gruß
Heffa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 08.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Heffa!
> Es sei L ein Zerfällungskörper eines Polynoms g [mm]\in[/mm] K[X]
> mit Grad(g)=n>0. Zeigen sie:
> [L:K] ist ein Teiler von n!
> Hi,
> ich hab mir schon einige Gedanken zur Aufgabe gemacht,
> bekomme den letzten Schritt aber nicht hin.
> Soweit bin ich bisher:
> L ist Zerfällungskörper von g, also ist
> [mm]L=K(a_{1},...,a_{n})[/mm]
> wobei [mm]a_{i}[/mm] die Nullstellen sind. [mm]a_{i}=a_{j}[/mm] für i [mm]\not=[/mm]
> j kann vorkommen, macht aber denke ich nichts.
> Dann eine Induktion über n:
> Induktionsannahme:
> [mm][K(a_{1},...,a_{n-1}):K][/mm] teilt (n-1)!
Ich wuerd es allgemeiner formulieren:
fuer alle Koerper $K$ und fuer alle $k < n$, fuer alle Polynome $f [mm] \in [/mm] K[x]$ von Grad $k$ teilt der Grad des Zerfaellungskoerpers von $f$ $k !$.
> Induktionsanfang n=1:
> [mm]L=K(a_{1}).[/mm] n=1 -> g linear -> [mm]a_{1} \in[/mm] K, [mm][K(a_{1})[/mm] : K]
> = 1 teilt 1!
Der ist dann immer noch kein Problem.
Fuer den Induktionsschritt nimmst du jetzt einen beliebigen Primfaktor $p$ von $f$.
Ist [mm] $\deg [/mm] p < [mm] \deg [/mm] f$, so teilt der Grad des ZKs $L$ von $p$ ueber $K$ nach Induktionsvoraussetzung [mm] $(\deg [/mm] p)!$, und der Grad des ZKs $L'$ von [mm] $\frac{f}{p}$ [/mm] ueber $L'$ nach Induktionsvoraussetzung [mm] $(\deg \frac{f}{p})! [/mm] = [mm] (\deg [/mm] f - [mm] \deg [/mm] p)!$. Nach dem Gradsatz gilt $[L' : K] = [L' : L] [L : K]$, womit der Grad von $[L' : K]$ ein Teiler von [mm] $(\deg [/mm] p)! [mm] (\deg [/mm] f - [mm] \deg [/mm] p)!$ ist. Nun ist jedoch der Binomialkoeffizient [mm] $\binom{\deg f}{\deg p}$ [/mm] gerade [mm] $\frac{(\deg f)!}{(\deg p)! (\deg f - \deg p)!} \in \IN$, [/mm] womit [mm] $(\deg [/mm] p)! [mm] (\deg [/mm] f - [mm] \deg [/mm] p)!$ ein Teiler von [mm] $(\deg [/mm] f)!$ ist, was zu zeigen war.
Damit hast du also alle Faelle abgedeckt, bis auf den, dass $f$ selber schon prim ist. Aber der laesst sich auch ganz einfach auf die Induktionsvoraussetzung zurueckfuehren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 So 08.07.2007 | | Autor: | Heffa |
Hi Felix!
Klasse Antwort, vielen Dank dafür!
Habe auch alles verstanden denke ich.
Ich glaube du hast nur einen kleinen Tippfehler drin
>Ist $ [mm] \deg [/mm] p < [mm] \deg [/mm] f $, so teilt der Grad des ZKs $ L $ von $ p $ ueber $ K $ nach Induktionsvoraussetzung $ [mm] (\deg [/mm] p)! $, und der Grad des ZKs $ L' $ von $ [mm] \frac{f}{p} [/mm] $ ueber $L'$ nur L oder? nach Induktionsvoraussetzung $ [mm] (\deg \frac{f}{p})! [/mm] = [mm] (\deg [/mm] f - [mm] \deg [/mm] p)! $.
Falls es doch so richtig ist wie du es hast, dann hab ich es doch nicht verstanden :)
Gruß und nochmal danke
Heffa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Mo 09.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Heffa!
> Habe auch alles verstanden denke ich.
> Ich glaube du hast nur einen kleinen Tippfehler drin
> >Ist [mm]\deg p < \deg f [/mm], so teilt der Grad des ZKs [mm]L[/mm] von [mm]p[/mm]
> ueber [mm]K[/mm] nach Induktionsvoraussetzung [mm](\deg p)! [/mm], und der
> Grad des ZKs [mm]L'[/mm] von [mm]\frac{f}{p}[/mm] ueber [mm]L'[/mm] nur L oder? nach
> Induktionsvoraussetzung [mm](\deg \frac{f}{p})! = (\deg f - \deg p)! [/mm].
>
> Falls es doch so richtig ist wie du es hast, dann hab ich
> es doch nicht verstanden :)
Ja, das sollte $L$ heissen und nicht $L'$ an der Stelle :)
Sieht so aus als haettest du es dann wohl verstanden ;)
LG Felix
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