L'hopital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
Wie kann ich mit dieser Aufgabe über L'hopital den Grenzwert bestimmen : [mm] \wurzel{1+x^{2}} [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Ich habe das so umgeschrieben, aber ich komm damit nicht weiter?
[mm] \bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}
[/mm]
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Hallo db60,
> Wie kann ich mit dieser Aufgabe über L'hopital den
> Grenzwert bestimmen : [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]
Wie schön. Den Grenzwert für [mm] x\to 237\pi [/mm] ?
Oder vermutlich eher den für [mm] x\to +\infty, [/mm] aber ohne diese Angabe ist die ganze Aufgabe sinnlos.
> Ich habe das so umgeschrieben, aber ich komm damit nicht
> weiter?
>
> [mm]\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}[/mm]
Warum kommst Du nicht weiter?
Nach l'Hospital ist ja jetzt erst mal Ableiten dran.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:16 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Hallo db60,
>
> > Wie kann ich mit dieser Aufgabe über L'hopital den
> > Grenzwert bestimmen : [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> Wie schön. Den Grenzwert für [mm]x\to 237\pi[/mm] ?
> Oder vermutlich eher den für [mm]x\to +\infty,[/mm] >aber ohne
> diese Angabe ist die ganze Aufgabe sinnlos.
>
Tut mir Leid habe vergessen den Grenzwert anzugeben. x gegen unendlich ist hier gefragt.
> > Ich habe das so umgeschrieben, aber ich komm damit nicht
> > weiter?
> >
> > [mm]\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}[/mm]
>
> Warum kommst Du nicht weiter?
> Nach l'Hospital ist ja jetzt erst mal Ableiten dran.
Nach dem Ableiten bekomm ich das raus.Aber es bringt mich nicht weiter
[mm] \bruch{2*x*\bruch{1}{1+x^{2}}}{\bruch{1/x*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}}
[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo nochmal,
weder die Ableitung im Zähler noch die im Nenner sind korrekt. Beachte die Quotientenregel und die Kettenregel.
Wenn Du wieder zum gleichen Ergebnis kommst, dann rechne mal vor, wie Du das eigentlich erreichst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
> > Hallo db60,
> >
> > > Wie kann ich mit dieser Aufgabe über L'hopital den
> > > Grenzwert bestimmen : [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm] * [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> >
> > Wie schön. Den Grenzwert für [mm]x\to 237\pi[/mm] ?
> > Oder vermutlich eher den für [mm]x\to +\infty,[/mm] >aber ohne
> > diese Angabe ist die ganze Aufgabe sinnlos.
> >
>
> Tut mir Leid habe vergessen den Grenzwert anzugeben. x
> gegen unendlich ist hier gefragt.
>
> > > Ich habe das so umgeschrieben, aber ich komm damit nicht
> > > weiter?
> > >
> > > [mm]\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}[/mm]
> >
> > Warum kommst Du nicht weiter?
> > Nach l'Hospital ist ja jetzt erst mal Ableiten dran.
>
> Nach dem Ableiten bekomm ich das raus.Aber es bringt mich
> nicht weiter
>
> [mm]\bruch{2*x*\bruch{1}{\wurzel1+x^{2}}}{\bruch{1/x*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}}[/mm]
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
also den Zähler leite ich mit der Kettenregel ab. Äußere Ableitung ist 1 geteilt durch die Wurzel mal innere Ableitung und das ist von [mm] x^{2} [/mm] 2*x
im Nenner benutze ich die Quotientenregel und Kettenregel
[mm] \bruch{0*sin(1/x)-(1/x)*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)} [/mm]
Warum ist das falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo db60,
> > > > [mm]\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}[/mm]
> [mm]\bruch{2*x*\bruch{1}{\wurzel1+x^{2}}}{\bruch{1/x*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}}[/mm]
> also den Zähler leite ich mit der Kettenregel ab. Äußere
> Ableitung ist 1 geteilt durch die Wurzel mal innere
Die Ableitung von [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] ist [mm] $\frac1{2\wurzel{x}}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac1{\wurzel{x}}$.
[/mm]
> Ableitung und das ist von [mm]x^{2}[/mm] 2*x
>
> im Nenner benutze ich die Quotientenregel und Kettenregel
>
> [mm]\bruch{0*sin(1/x)-(1/x)*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}[/mm]
Nach der Kettenregel musst du mit der inneren Ableitung multiplizieren, also der Ableitung von [mm] $\frac1x$, [/mm] und nicht mit [mm] $\frac1x$ [/mm] selbst.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Hallo db60,
>
> > > > > [mm]\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{\bruch{1}{sin(\bruch{1}{x})}}[/mm]
>
> >
> [mm]\bruch{2*x*\bruch{1}{\wurzel1+x^{2}}}{\bruch{1/x*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}}[/mm]
>
> > also den Zähler leite ich mit der Kettenregel ab. Äußere
> > Ableitung ist 1 geteilt durch die Wurzel mal innere
>
> Die Ableitung von [mm]\wurzel{x}[/mm] ist [mm]\frac1{2\wurzel{x}}[/mm] und
> nicht [mm]\frac1{\wurzel{x}}[/mm].
>
> > Ableitung und das ist von [mm]x^{2}[/mm] 2*x
> >
> > im Nenner benutze ich die Quotientenregel und Kettenregel
> >
> > [mm]\bruch{0*sin(1/x)-(1/x)*cos(1/x)}{sin^{2}(1/x)}[/mm]
>
> Nach der Kettenregel musst du mit der inneren Ableitung
> multiplizieren, also der Ableitung von [mm]\frac1x[/mm], und nicht
> mit [mm]\frac1x[/mm] selbst.
>
> Viele Grüße
> Marc
Ok, alles klar. Danke! Aber was mache ich jetzt mit dem [mm] sinus^{2} [/mm] der wurde gegen unendlich gegen 0 laufen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:30 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Marc |
> Ok, alles klar. Danke! Aber was mache ich jetzt mit dem
> [mm]sinus^{2}[/mm] der wurde gegen unendlich gegen 0 laufen ?
Ja und? Das ist ja nicht das Problem, sondern die Entscheidung, wogegen der Gesamtausdruck läuft. Ich sehe zu dieser späten Stunde auch keine Möglichkeit, das weiter zu vereinfachen.
Stattdessen würde ich den Anfangsausdruck umformen zu
[mm] $\frac{\sin(1/x)}{\frac1{\sqrt{1+x^2}}}$ [/mm]
dann ist er ja von der Form [mm] "$\frac00$" [/mm] und erfüllt ebenfalls die Voraussetzung von l'Hospital. Dort hat man nach dem Ableitung auch nicht zwei trigonometrische Funktionen, sondern nur eine, und kann recht schnell den Grenzwert entscheiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Fr 25.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich muß ins Hospital, wenn ich hier Hospital mache !
Wir setzen t=1/x. Wenn x [mm] \to \infty, [/mm] so t [mm] \to [/mm] 0+0
Dann
$ [mm] \wurzel{1+x^{2}}* sin(\bruch{1}{x}) =\wurzel{1+1/t^2}* [/mm] sin(t) [mm] =\wurzel{t^2+1}*\bruch{sin(t)}{t} \to [/mm] 1$
FRED
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