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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 21.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | f(x,y) = exp (x+2y)
g(x,y) = [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] -4
M = {(x,y) [mm] \in R^{2} [/mm] : g(x,y) = 0}
N = {(x,y) [mm] \in R^{2} [/mm] : g(x,y) [mm] \le [/mm] 0}
bestimmen sie extrema für f|M und f|N |
f|M habe ich die Extrema bestimmt es ist kein Problem, aber bei f|N habe ich eine Verständnisfrage:
in der Lösung steht:
"grad f(x,y) = 0
Offensichtlich gibt es keine Lösungen zu diesen Gleichungen. Daher erhalten wir wie
oben (zu f|M), dass das globale Maximum bei (x1, y1) und das globale Minimum bei (x2, y2)
angenommen wird."
Die Menge N ist g(x,y) [mm] \le [/mm] 0 dh doch das der Rand des Kreises aber noch mit drinne ist, wieso setzen sie nur die grad f = 0 und nicht die volle Lagrange FKt. grad L = 0 ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) = exp (x+2y)
> g(x,y) = [mm]x^{2} +y^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-4
>
> M = {(x,y) [mm]\in R^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: g(x,y) = 0}
> N = {(x,y) [mm]\in R^{2}[/mm] : g(x,y) [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
>
> bestimmen sie extrema für f|M und f|N
> f|M habe ich die Extrema bestimmt es ist kein Problem,
> aber bei f|N habe ich eine Verständnisfrage:
>
> in der Lösung steht:
>
> "grad f(x,y) = 0
>
> Offensichtlich gibt es keine Lösungen zu diesen
> Gleichungen. Daher erhalten wir wie
> oben (zu f|M), dass das globale Maximum bei (x1, y1) und
> das globale Minimum bei (x2, y2)
> angenommen wird."
>
>
> Die Menge N ist g(x,y) [mm]\le[/mm] 0 dh doch das der Rand des
> Kreises aber noch mit drinne ist, wieso setzen sie nur die
> grad f = 0 und nicht die volle Lagrange FKt. grad L = 0 ??
>
>
Mit grad L = 0 bestimmst Du die Extremwerte von f|M !!!
Mit grad f = 0 bestimmst Du die Extremwerte von f auf N \ M
Da die Gl. grad f = 0 keine Lösung hat, nimmt f|N seine Extremwerte auf [mm] \partial [/mm] N = M an.
FRED
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Hallo,
die Aufgabe wäre auch leicht ohne Lagrange zu
lösen. Da die Exponentialfunktion streng monoton
ist, liegen die Extrema der Funktion f an denselben
Stellen wie die der linearen Funktion [mm] h(x,y)=x+2\,y [/mm] .
Die Niveaulinien dieser Funktion bilden eine Schar
von Parallelen. Minimum und Maximum der Funktion
h (und damit auch f) bezüglich M oder N liegen an
den beiden Stellen von M, wo je eine solche Gerade
den Kreis M berührt. Auch dass es im Inneren von
N kein weiteres Extremum geben kann, wird so
anschaulich sofort klar.
LG Al-Chw.
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