matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenNumerik linearer GleichungssystemeLandau-Notation und LGS
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Landau-Notation und LGS
Landau-Notation und LGS < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Landau-Notation und LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Di 12.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] ist asymptotisch von der Ordnung der Folge [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm], falls die Zahlen c > 0 und N [mm] \in \IN [/mm] existieren, sodass [mm] |a_n| \le c |b_n| \forall n \ge N [/mm] gilt. In diesem Fall verwenden wir die Landau-Notation [mm] a_n= O(b_n) [/mm].

Beispiel: Das Gaußsche Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems besitzt den Aufwand [mm] O(n^3) [/mm], während die Cramersche Regel auf einen Aufwand der Ordnung [mm] O(n!) [/mm] führt.

Hallo!

Ich wollte eigentlich nur ein paar Beispiele anschauen, um den unterschiedlichen Aufwand im Beispiel zu verinnerlichen und habe nun das Gefühl, die Landau-Notation doch nicht so ganz verstanden zu haben.
Ist das nicht das Maß für die Anzahl der Elementarschritte des Algorithmus?
Wenn man also ein LGS Ax=b lösen will mit [mm] A \in \IR^{nxn} [/mm], dann dachte ich, bräuchte man mit Gauß [mm] n^3=8 [/mm] Rechenoperationen und mit Cramer n!=2 Rechenoperationen.
Also habe ich mir das Bsp. [mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } [/mm] vorgenommen:

Mit Gauß:
[mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } \to \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 0 & -3 & | -6 } \to x_2= \bruch{-6}{-3}=2, x_1+2*2=3 \to x_1=-1 [/mm] Wenn ich alle elementaren Rechenoperationen zähle, komme ich auf 9 [mm] \not= [/mm] 8

Mit Cramer:
[mm] Ax=b: \pmat{ 1 & 2 & | 3 \\ 4 & 5 & | 6 } \to x_1= \bruch{detA_1}{detA}=\bruch{3*5-6*2}{1*5-2*4}=\bruch{3}{-3}=-1, x_2=\bruch{1*6-4*3}{-3}=\bruch{-6}{-3}=2 [/mm]. Hier sind es 11!!

Irgendwas habe ich gründlich missverstanden, aber ich komm nicht drauf, was es ist. Kann mir jemand helfen?

Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Landau-Notation und LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 12.07.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] O(n^3) [/mm] heisst doch nicht, dass der Aufwand [mm] n^3 [/mm] ist, sondern dass er mit wachsendem n nicht mehr als mit [mm] n^3 [/mm] (bzw im anderen Fall mit n! wächst. also kann er auch immer [mm] 7*n^3 [/mm] oder 117*n! sein zum Beispiel. du hast das c in der def. vergessen.
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Landau-Notation und LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Di 12.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Achso, ja, stimmt, das macht Sinn... danke schon mal für die Antwort! :-)

Aber dann verstehe ich nicht ganz, was das überhaupt aussagt, denn zB mit n=2 ist [mm] 2*n^3 [/mm] wesentlich kleiner als [mm] 20*n^2. [/mm] Und wie bestimmt man den Aufwand ohne c fest zu haben? ZB der Aufwand für das Gauß-Eliminationsverfahren. Wie kommt man auf den? Kann mir hier jemand einen Tipp geben?

Liebe Grüße, Lily

Bezug
                        
Bezug
Landau-Notation und LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Di 12.07.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber dann verstehe ich nicht ganz, was das überhaupt
> aussagt, denn zB mit n=2 ist [mm]2*n^3[/mm] wesentlich kleiner als
> [mm]20*n^2.[/mm]

Ja das stimmt, ist einem aber egal. Der Zeitunterschied zwischen den beiden Fällen ist marginal klein und damit egal, weil n so klein ist.

Wenn es um Aufwände geht, möchte man den Aufwand für große n schätzen. Und da gilt nun mal für alle [mm] $c_i [/mm] > 0$ und ausreichend große [mm] $n\in\IN [/mm] immer [mm] $c_1n^3 [/mm] > [mm] c_2n^2$ [/mm]

> Und wie bestimmt man den Aufwand ohne c fest zu
> haben? ZB der Aufwand für das Gauß-Eliminationsverfahren.

Da kommt noch das Problem hinzu, dass du ja "inuitiv" den kürzesten Weg suchst um das Verfahren durchzuführen. Du müsstest also ein Verfahren finden, was IMMER funktioniert und dann schauen, wie viele Schritte du dafür maximal brauchst.

> Wie kommt man auf den? Kann mir hier jemand einen Tipp geben?

Das ist sehr schön im entsprechenden []Wikipedia-Artikel erklärt bzw in den []entsprechenden Artikeln der einzelnen Verfahren.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Landau-Notation und LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Mi 13.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Vielen Dank! Dann schau ich mir das mal an ^^

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]