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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3}) [/mm] , x [mm] \rightarrow [/mm] 0 |
Ok, ich muss ja zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sup | [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}} [/mm] | < [mm] \infty
[/mm]
Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm] e^{x} [/mm] schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja einiges weg heben. Dann komme ich auf
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sup [mm] |\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}|
[/mm]
Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.
Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?
Außerdem muss ich es noch über die Quantorenschreibweise zeigen.
Vielen Dank schonmal im Vorraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm] , x [mm]\rightarrow[/mm] 0
> Ok, ich muss ja zeigen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup |
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm] | < [mm]\infty[/mm]
> Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm]e^{x}[/mm]
> schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja
> einiges weg heben. Dann komme ich auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup [mm]|\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}|[/mm]
Du meinst sicher [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}
[/mm]
>
> Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.
Doch, das bringt Dich weiter !
Es ist
$ [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....$
[/mm]
Setzen wir
[mm] $g(x):=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$, [/mm]
so haben wir:
$ [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= [/mm] g(x)$ für $x [mm] \ne [/mm] 0$
$g$ ist auf [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere in 0, also gibt es eine Umgebung $U$ von 0, auf der g beschränkt ist. Damit ist
[mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}
[/mm]
auf $U [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] beschränkt.
Fazit:
$ [mm] e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3}) [/mm] $ für $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$.
> Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?
> Außerdem muss ich es noch über die Quantorenschreibweise
> zeigen.
Was ist damit gemeint ??
FRED
> Vielen Dank schonmal im Vorraus :)
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> > Zeigen Sie:
> > [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm] , x [mm]\rightarrow[/mm] 0
> > Ok, ich muss ja zeigen:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup |
> > [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm] | < [mm]\infty[/mm]
> > Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm]e^{x}[/mm]
> > schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja
> > einiges weg heben. Dann komme ich auf
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup [mm]|\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}|[/mm]
>
> Du meinst sicher [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}[/mm]
>
> >
> > Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.
>
> Doch, das bringt Dich weiter !
>
> Es ist
>
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....[/mm]
>
> Setzen wir
>
> [mm]g(x):=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....[/mm]
> für [mm]x \in \IR[/mm],
>
> so haben wir:
>
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= g(x)[/mm] für [mm]x \ne 0[/mm]
>
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> [mm]g[/mm] ist auf [mm]\IR[/mm] stetig, insbesondere in 0, also gibt es eine
> Umgebung [mm]U[/mm] von 0, auf der g beschränkt ist. Damit ist
>
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm]
>
> auf [mm]U \setminus \{0\}[/mm] beschränkt.
>
> Fazit:
>
>
> [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm] für [mm]x \rightarrow 0[/mm].
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>
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>
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Ok, ich dachte man hätte das irgendwie direkter zeigen können :)
>
> > Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?
> > Außerdem muss ich es noch über die
> Quantorenschreibweise
> > zeigen.
>
> Was ist damit gemeint ??
Ja, also gerade haben wir die lim sup Definition der Landau-Symbole benutzt. Und jetzt muss ich es noch mit der anderen Definition zeigen, also:
Wenn man [mm] f(x):=e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] hat, dann muss man zeigen, dass Konstanten [mm] \varepsilon [/mm] , C > 0 existieren, sodass für alle x mit [mm] |x|<\varepsilon [/mm] stets |f(x)| [mm] \le [/mm] C|g(x)| gilt.
g(x) wäre hier [mm] x^{3}.
[/mm]
Ich würde so anfangen:
[mm] |f(x)|=|e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}|=|x^{3} (\bruch{e^{x}-1}{x^3}-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{2x})|=|x^{3}| |\bruch{e^{x}-1}{x^3}-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{2x}| \le (|\bruch{e^{x}-1}{x^3}|+|\bruch{1}{x^{2}}|+|\bruch{1}{2x}|) |x^{3}|
[/mm]
Das vor [mm] x^{3} [/mm] müsste ja C sein und [mm] |\bruch{1}{2x}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2\varepsilon}, [/mm] aber was mache ich mit dem ersten Term(der mit [mm] e^x)?
[/mm]
Und geht das so überhaupt?
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> FRED
> > Vielen Dank schonmal im Vorraus :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 24.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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