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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 So 10.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Prüfen Sie, ob die Funktion für f(x)=-x*ln(x) für [mm] x\rightarrow\0 [/mm] von der Ordnung groß O von g(x)=x ist. |
Hallo zusammen,
mein Ansatz bei dieser Aufgabe ist folgender:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\parallel -x*ln(x)\parallel}{|x|} [/mm] = [mm] \bruch{"0" * " -\infty"}{"0"}
[/mm]
=> auf Anhieb nicht lösbar, auch nicht mit l'Hospital. Betrachte nur den Zähler: Trick anwenden: [mm] \parallel -x*ln(x)\parallel [/mm] = [mm] \parallel \bruch{-x}{\bruch{1}{ln(x)}}\parallel [/mm] => [mm] \bruch{\parallel -x*ln(x)\parallel}{|x|} [/mm] = [mm] \bruch{\parallel -x\parallel}{|x*\bruch{1}{ln(x)}|} [/mm] = [mm] \bruch{"0"}{"0"*"0"} [/mm]
=> [mm] l'Hospital:\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{\parallel -x\parallel}{|x|*\bruch{1}{ln(x)}} [/mm] = [mm] \bruch{\parallel -1\parallel}{|\bruch{-1}{x*ln^2(x)}+\bruch{1}{ln(x)}|} [/mm] (Produktregel im Nenner) = [mm] \bruch{1}{\bruch{x^2 * ln(x) - 1}{x* ln^2(x)}} [/mm] (Nenner auf gemeinsamen Nenner gebracht) = [mm] \bruch{x* ln^2(x)}{x^2 * ln(x) - 1} [/mm] = [mm] \bruch{"0" * " - \infty"}{"0"* "- \infty" - 1}
[/mm]
(hier wird aus irgendeinem Grund nicht das angezeigt, was ich will. Es muss natürlich überall MINUS Unendlich, sowie ganz zum Schluss im Nenner Minus 1 heißen)
An dieser Stelle habe ich aufgegeben, weil ich das Gefühl habe, das ich nicht so recht weiterkomme / mir diese "Tricks" wie man einen "Null mal MinusUnendlich" Grenzwert auflöst, nicht weiterhelfen. Meine Frage ist jetz einerseits: ob ich bisher irgendetwas falsch gemacht habe und 2. ob es noch einen anderen Trick gibt, wie man das lösen kann...?
Danke schonmal!
lG
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> Prüfen Sie, ob die Funktion für f(x)=-x*ln(x) für
> [mm]x\rightarrow0[/mm] von der Ordnung groß O von g(x)=x ist.
> Hallo zusammen,
>
> mein Ansatz bei dieser Aufgabe ist folgender:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\parallel -x*ln(x)\parallel}{|x|}[/mm]
> = [mm]\bruch{"0" * " -\infty"}{"0"}[/mm]
wozu die Anführungszeichen ?
> => auf Anhieb nicht
> lösbar, auch nicht mit l'Hospital. Betrachte nur den
> Zähler: Trick anwenden: [mm]\parallel -x*ln(x)\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel \bruch{-x}{\bruch{1}{ln(x)}}\parallel[/mm] =>
> [mm]\bruch{\parallel -x*ln(x)\parallel}{|x|}[/mm] = [mm]\bruch{\parallel -x\parallel}{|x*\bruch{1}{ln(x)}|}[/mm]
> = [mm]\bruch{"0"}{"0"*"0"}[/mm]
> => [mm]l'Hospital:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\parallel -x\parallel}{|x|*\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\parallel -1\parallel}{|\bruch{-1}{x*ln^2(x)}+\bruch{1}{ln(x)}|}[/mm]
> (Produktregel im Nenner) = [mm]\bruch{1}{\bruch{x^2 * ln(x) - 1}{x* ln^2(x)}}[/mm]
> (Nenner auf gemeinsamen Nenner gebracht) = [mm]\bruch{x* ln^2(x)}{x^2 * ln(x) - 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{"0" * " - \infty"}{"0"* "- \infty" - 1}[/mm]
> (hier
> wird aus irgendeinem Grund nicht das angezeigt, was ich
> will. Es muss natürlich überall MINUS Unendlich, sowie
> ganz zum Schluss im Nenner Minus 1 heißen)
>
> An dieser Stelle habe ich aufgegeben, weil ich das Gefühl
> habe, das ich nicht so recht weiterkomme / mir diese
> "Tricks" wie man einen "Null mal MinusUnendlich" Grenzwert
> auflöst, nicht weiterhelfen. Meine Frage ist jetz
> einerseits: ob ich bisher irgendetwas falsch gemacht habe
> und 2. ob es noch einen anderen Trick gibt, wie man das
> lösen kann...?
>
> Danke schonmal!
> lG
In dem Ausdruck [mm] $\left|\frac{-x*ln(x)}{x}\right|$ [/mm] kann man doch vor jeder
weiteren Überlegung einmal das x herauskürzen (denn
der Wert x=0 wird für die Limesbildung mit [mm] x\to [/mm] 0
nicht verwendet !). Ferner darf man die Absolut-
striche weglassen, denn für positive kleine x-Werte
ist ja ln(x) negativ und deshalb -ln(x) positiv.
Zu überprüfen ist also, ob der Grenzwert
[mm] $\limes_{x\searrow 0}\,(-\,ln(x))$
[/mm]
endlich ist. Dies ist nicht der Fall, also ist die Funktion f
für $\ [mm] x\searrow{0}$ [/mm] nicht in [mm] $\mathcal{O}(x)$ [/mm] .
LG Al-Chw.
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