Laplacescher Entwicklungssatz < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:02 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante:
[mm] \pmat{ 1 & -5 & 4 &1 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] |
Ich berechne nun die Determinante nach Zeile1:
1*(1*1*1-(-1)*1*1)+5*(2*1*1-(-1)*1*1)
+4*(2*(-4)*1-(-1)*(-4)*1)+1*(2*(-4)*1-(-3)*(-4)*1)=-51
Es muss aber -33 herauskommen. Wo liegt der Fehler?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Owen |
ich habe jetzt die Vorzeichen richtig gesetzt und bekomme dann -11 heraus, das passt auch nicht. Ich hatte auf den Seiten bereits geschaut, jedoch komme ich damit nicht weiter. Ich verstehe nicht, warum es falsch ist.
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Hallo Eugen.
du hast die Determinanten der "Untermatrizen"/"Streichmatrizen" nicht richtig berechnet:
Du hast $A= [mm] \pmat{ 1 & -5 & 4 &1 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] $
Die Koeffizienten für die Entwicklung nach der ersten Zeile gemäß Herrn Laplace hast du richtig. Ich schreibs mal ausführlicher auf:
Erst einmal die allg. "Formel" für die Entwicklung nach der i.Zeile:
[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^n(-1)^{i+j}\cdot{}a_{ij}\cdot{}det(A_{ij})$
[/mm]
wobei [mm] $A_{ij}$ [/mm] diejenige Matrix ist, die aus $A$ durch Streichen der i.Zeile und j.Spalte entsteht. $n$ ist die "Größe" der Matrix
Also hast du hier für die Entwicklung nach der 1. Zeile:
[mm] $det(A)=\sum\limits_{j=1}^4(-1)^{1+j}\cdot{}a_{1j}\cdot{}det(A_{1j})$
[/mm]
wobei [mm] $A_{1j}$ [/mm] durch Streichen dedr 1.Zeile und j.Spalte von A entsteht
Also konkret:
[mm] $det(A)=1\cdot{}\det\pmat{ 1 & -3 & -1 \\ -4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } +5\cdot{}det\pmat{ 2 & -3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1}+4\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & 1}-1\cdot{}det\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & 1}$
[/mm]
Die Determinanten der [mm] $3\times [/mm] 3$ Untermatrizen kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen oder nochmal nach Laplace entwickeln
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Owen |
ok, ich habe es nun verstanden, vielen Dank
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