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LaurentReihe Entwickeln: tipp , Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Mo 11.07.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Sei [mm] $f:\mathbb{C}\setminus\{2,i\} \to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}$ [/mm]

Entwickeln Sie $f$ um $0$ in eine Laurent Reihe, die in [mm] $G=K_{1,2}(0)$ [/mm] konvergiert.

Hallo,

Die LR soll auf [mm] $K_{1,2}(0):=\{z \in \mathbb{C}| 1<|z|<2 \}$ [/mm]

Deshalb mache ich zunächst eine Partialbruchzerlegung mit

[mm] $\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{Bz+C}{(z-i)}$ [/mm]

Dabei habe ich für $A=1,B=0$ und $C=-1$ folgende Zerlegung raus

[mm] $\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{1}{(z-2)}-\frac{1}{(z-i)}$ [/mm]

Entwickle ich die LReihe nun für [mm] $\frac{1}{(z-2)}$ [/mm] kommt folgendes raus

[mm] $\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-1\cdot \frac{1}{1-\frac{(z-1)}{1}}= [/mm] -1 [mm] \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}(z-1)^k$ [/mm]

ist das soweit korrekt?

Bei [mm] $-\frac{1}{(z-i)}$ [/mm] habe ich bisher noch keine Idee :/

        
Bezug
LaurentReihe Entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 11.07.2022
Autor: fred97


> Sei [mm]f:\mathbb{C}\setminus\{2,i\} \to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}[/mm]
>
> Entwickeln Sie [mm]f[/mm] um [mm]0[/mm] in eine Laurent Reihe, die in
> [mm]G=K_{1,2}(0)[/mm] konvergiert.
>  Hallo,
>  
> Die LR soll auf [mm]K_{1,2}(0):=\{z \in \mathbb{C}| 1<|z|<2 \}[/mm]
>  
> Deshalb mache ich zunächst eine Partialbruchzerlegung mit
>  
> [mm]\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{Bz+C}{(z-i)}[/mm]
>  
> Dabei habe ich für [mm]A=1,B=0[/mm] und [mm]C=-1[/mm] folgende Zerlegung
> raus
>  
> [mm]\frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{1}{(z-2)}-\frac{1}{(z-i)}[/mm]
>  
> Entwickle ich die LReihe nun für [mm]\frac{1}{(z-2)}[/mm] kommt
> folgendes raus
>  
> [mm]\frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-1\cdot \frac{1}{1-\frac{(z-1)}{1}}= -1 \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}(z-1)^k[/mm]
>  
> ist das soweit korrekt?


Falsch ist das nicht, bringt aber nix, denn Deine Reihe konvergiert für $|z-1|<1$, also in der Kreisscheibe um 1 mit radius 1.

>  
> Bei [mm]-\frac{1}{(z-i)}[/mm] habe ich bisher noch keine Idee :/


Tipps:

Es ist

[mm] \frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2} [/mm]

und

[mm] \frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}. [/mm]

Schreibe beide rechten Seite als geometrische Reihe un addiere die Resultate.

Bezug
                
Bezug
LaurentReihe Entwickeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Mo 11.07.2022
Autor: nkln

Hallo Fred,

dank dir für deine Antwort.

Ist es dann also

$ [mm] \frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2}= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k [/mm]  $
und

$ [mm] \frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}= \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^k=\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $

also $f(z)= [mm] -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $

Dabei ist der Haupteil gegeben durch [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }$ [/mm] und der Nebenteil durch  [mm] $-\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k$ [/mm]

so richtig?

Bezug
                        
Bezug
LaurentReihe Entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Mo 11.07.2022
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> dank dir für deine Antwort.
>  
> Ist es dann also
>
> [mm]\frac{1}{z-1}= -\frac{1}{2} \frac{1}{1-z/2}= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k [/mm]
>  
>  und
>  
> [mm]\frac{1}{z-i}= \frac{1}{z} \frac{1}{1-i/z}= \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^k=\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>  
> also [mm]f(z)= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>  
> Dabei ist der Haupteil gegeben durch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm] und der
> Nebenteil durch  [mm]-\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k[/mm]
>  
> so richtig?

Alles richtig


Bezug
                                
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LaurentReihe Entwickeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mo 11.07.2022
Autor: nkln

ist auch die Indize Verschiebung bei [mm] $\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $

korrekt?

Dank dir für deine Hilfe!!

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LaurentReihe Entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 11.07.2022
Autor: Fulla


> ist auch die Indize Verschiebung bei [mm]\frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=1}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]

>

> korrekt?

>

> Dank dir für deine Hilfe!!

Hallo nkln,

nein, das ist auch gar keine Indexverschiebung...
Richtig muss es heißen:    [mm] \frac{1}{z} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-k }= \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm]

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                                                
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LaurentReihe Entwickeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Mo 11.07.2022
Autor: nkln


Aber es bleibt dann bei
$ f(z)= [mm] -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) } [/mm] $

oder muss ich die finale Darstellung verändern?

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LaurentReihe Entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mo 11.07.2022
Autor: fred97


>
> Aber es bleibt dann bei
>  [mm]f(z)= -\frac{1}{2} \cdot \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+ \summe_{k=0}^{\infty}i^k \cdot z^{-(k+1) }[/mm]
>  
> oder muss ich die finale Darstellung verändern?

Alles bestens

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LaurentReihe Entwickeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Mo 11.07.2022
Autor: nkln

Danke euch allen, wirklich danke sehr!

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