Legendre-Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 13.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Gegeben sei der 4-dimensionale Vektorraum P{3} der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3. Zeigen Sie, dass die Legendre-Polynome
[mm] P{0}(x)=1,P{1}(x)=x,P{2}(x)=\bruch{3}{2}x^2- \bruch{1}{2},P{3}(x)= \bruch{5}{2}x^3-\bruch{3}{2}x
[/mm]
eine Basis von P{3} bilden. |
Ich hab leider keine Ahnung was ich bei dieser Aufgabe machen muss, also hoff ich, dass mir jemand helfen kann(bitte ausführlisch).
Vielen Dnake jetzt schon
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> Gegeben sei der 4-dimensionale Vektorraum P{3} der Polynome
> vom Grad [mm]\le[/mm] 3. Zeigen Sie, dass die Legendre-Polynome
> [mm]P{0}(x)=1,P{1}(x)=x,P{2}(x)=\bruch{3}{2}x^2- \bruch{1}{2},P{3}(x)= \bruch{5}{2}x^3-\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> eine Basis von P{3} bilden.
> Ich hab leider keine Ahnung was ich bei dieser Aufgabe
> machen muss, also hoff ich, dass mir jemand helfen
> kann(bitte ausführlisch).
Hallo,
es ist ja schon gesagt, daß der Vektorraum, um den es geht, die Dimension 4 hat.
Du hast hier nun 4 Vektoren [mm] P_0, P_1, P_2, P_3, [/mm] von denen Du feststellen sollst, ob sie eine Basis bilden.
Was mußt Du dafür prüfen?
Ich interessiere mich zunächst nur fürs WAS, das Wie können wir später besprechen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 13.11.2008 | | Autor: | ohlala |
Basis: erzeugende + linear unabhängige Vektoren
Wie?:
mit Gauss und dem Rang?
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> Was? Wie?
> Basis: erzeugende + linear unabhängige Vektoren
Hallo,
ja.
Hier haben wir einen raum der Dimension 4 und 4 Vektoren.
Wir können uns also darauf beschränken, nachzuschauen, ob sie linear unabhängig sind. Dann sind sie nämlich automatisch eine Basis.
Was ist für lineare Unabhängigkeit zu zeigen? (Das war's was ich eigentlich wissen wollte.)
Man muß zeigen, daß aus
[mm] aP_0 +b*P_1+c*P_2+d*P_3= [/mm] Nullpolynom folgt, daß a=b=c=d=0 ist.
Also :
Sei [mm] aP_0 +b*P_1+c*P_2+d*P_3= [/mm] Nullpolynom
==> (einsetzen)
==> (sortieren nach Potenzen von x)
==> (Koeffizientenvergleich)
==> (Lösen des LGS)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 14.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | | Koeffizientenvergleich |
Wie geht das mit dem Koeffizienten vergleich?
Also ich hab:
[mm] a*1+b*x+c*(\bruch{3}{2}x^2- \bruch{1}{2})+d*( \bruch{5}{3}x^3- \bruch{3}{2}x)=0
[/mm]
a- [mm] \bruch{1}{2}c [/mm] + (b - [mm] \bruch{3}{2}d)x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}cx^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}dx^3=0
[/mm]
und was muss ich jetzt machen?
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> Koeffizientenvergleich
> Wie geht das mit dem Koeffizienten vergleich?
> Also ich hab:
>
> [mm]a*1+b*x+c*(\bruch{3}{2}x^2- \bruch{1}{2})+d*( \bruch{5}{3}x^3- \bruch{3}{2}x)=0[/mm]
>
> a- [mm]\bruch{1}{2}c[/mm] + (b - [mm]\bruch{3}{2}d)x[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}cx^2[/mm]
> + [mm]\bruch{5}{3}dx^3=0[/mm]
>
> und was muss ich jetzt machen?
Hallo,
wenn das linke gleich dem Nullpolynom sein soll, dann müssen links alle Koeffizienten =0 sein.
Daraus erhältst Du 4 gleichungen mit den Unbekannten a,b,c,d, welche dann zu lösen sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Fr 14.11.2008 | | Autor: | ohlala |
Danke ich glaub ich habs jetzt endlich
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