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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 So 24.01.2010 | | Autor: | Tanja26 |
| Aufgabe |
Es gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
unter Benutzung dieser Summe muss ich Zeigen ,dass
[mm] \pi=2+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{16}{(4k-3)(16k^2-1)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich muss dass zeigen,zu erst habe ich beide Seite mit 4 multipliziert,und wie macht man dann weiter. Konnte vielleicht jemanden mir helfen.
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> Es gilt: [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1}=\bruch{\pi}{4}[/mm]
> unter Benutzung dieser Summe muss ich Zeigen ,dass
> [mm]\pi=2+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{16}{(4k-3)(16k^2-1)}[/mm]
> Hallo,
> Ich muss dass zeigen, zuerst habe ich beide Seite mit 4
> multipliziert,und wie macht man dann weiter.
Hallo Tanja,
das sieht ja nach einer leckeren Knacknuss aus !
Trotzdem denke ich, nach etwas rumprobieren einen
Weg zur Lösung zu sehen. Zuerst kann man bemerken,
dass man den Nenner des allg. Summanden in der
zweiten Formel weiter faktorisieren kann:
$\ [mm] (4\,k-3)(16\,k^2-1)\ [/mm] =\ [mm] (4\,k-3)(4\,k-1)(4\,k+1)$
[/mm]
Dividiert man die zweite Gleichung durch 4 , so hat man
die beiden Darstellungen für [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] :
1.) $\ [mm] \frac{\pi}{4}\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1}\ [/mm] =\ [mm] 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\,.......$ [/mm]
2.) $\ [mm] \frac{\pi}{4}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}+4*\left(\frac{1}{1*3*5}+\frac{1}{5*7*9}+\frac{1}{9*11*13}+\,.......\right)$
[/mm]
wobei die erste Darstellung als bewiesen und die zweite
als die zu beweisende betrachtet wird.
Nun kann man versuchen, die Summanden der ersten
Reihe so umzugruppieren (bzw. anders aufzuteilen), dass
irgendwie die Summanden der zweiten Reihe herauskom-
men. Dabei habe ich mir probeweise am Summanden
[mm] \frac{1}{5*7*9} [/mm] der zweiten Summe überlegt: "wie könnte ich
diesen Summanden aus den drei Summanden [mm] \frac{1}{5} [/mm] , [mm] -\,\frac{1}{7} [/mm] , [mm] \frac{1}{9}
[/mm]
der ersten Summe mit den entsprechenden Nennern
erzeugen ?"
(der Rest ist ein wenig Rechenarbeit)
LG Al-Chw.
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