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| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=e \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^{n}=\bruch{1}{e} [/mm] |
Hi,
ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich nicht so recht weiter komme. Ich soll mit Hilfe von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=e
[/mm]
zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^{n}=\bruch{1}{e}
[/mm]
Folgendermaßen bin ich bisher vorgegangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}=e \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n}\right)^{-1}=e^{-1} \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{-n}=\bruch{1}{e}
[/mm]
Ist das bis dahin richtig und kann ich so überhaupt zum Ziel kommen? Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte...
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Di 15.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Sieht ja schonmal nicht schlecht aus, aber wie gehts weiter?
Also versuch doch zu zeigen, dass [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] gegen $0$ konvergiert.
Es geht vielleicht auch leichter, wenn du [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\frac{(n+1)^n}{n^n}$ [/mm] usw. umformst.
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Danke schon mal für die schnelle Antwort.
> Sieht ja schonmal nicht schlecht aus, aber wie gehts
> weiter?
>
> Also versuch doch zu zeigen, dass
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
> gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
Das mit der Konvergenz an der Stelle verstehe ich nicht. Wäre das dadurch auch bewiesen? Für mich klingt die Aufgabe nach einem typischen Beweis durch Umformung.
> Es geht vielleicht auch leichter, wenn du
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\frac{(n+1)^n}{n^n}[/mm] usw.
> umformst.
So habe ich es jetzt eben mal versucht. Habe auch statt dem n nur -1 als Potenz runtergezogen [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=\left(\frac{(n+1)^{-1}}{n^{-1}}\right)^n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/mm] aber so richtig näher bin ich meinem Ziel damit leider auch noch nicht gekommen.... :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Di 15.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das mit der Konvergenz an der Stelle verstehe ich nicht.
> Wäre das dadurch auch bewiesen?
Ja klar, wenn [mm] $a_n\rightarrow [/mm] a$ und [mm] $a_n-b_n\rightarrow [/mm] 0$, so folgt nach den Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen [mm] $b_n\rightarrow [/mm] a$. Das bedeutet ja im Grunde, dass [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] sich beliebig nahe kommen.
> Für mich klingt die Aufgabe
> nach einem typischen Beweis durch Umformung.
Naja die beiden Zahlenfolgen sind jedenfalls nicht gleich oder so, die eine ist sogar monoton wachsend und die andere fallend, deshalb wirste die sicher nicht einfach so umformen können.
> So habe ich es jetzt eben mal versucht. Habe auch statt dem
> n nur -1 als Potenz runtergezogen
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=\left(\frac{(n+1)^{-1}}{n^{-1}}\right)^n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/mm]
Richtig.
> aber so richtig näher bin ich meinem Ziel damit leider auch
> noch nicht gekommen.... :/
Ja das allein bringt auch nicht viel, aber damit kannst du die Differenz (s.o.) n bissl vereinfachen und mit den richtigen Überlegungen zeigen, dass sie gegen 0 konvergiert.
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