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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für alle a,b > 0 gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^{n}+ b^{n}} [/mm] = max {a,b} |
Hallo zusammen,
ich brauche Eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Ich weiß ja, dass
max{a,b} = [mm] \bruch{a+b+|a-b|}{2} [/mm] ist.
Hilft es mir hier weiter?
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für alle a,b > 0 gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^{n}+ b^{n}}[/mm]
> = max {a,b}
> Hallo zusammen,
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> ich brauche Eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß leider
> nicht wie ich anfangen soll. Ich weiß ja, dass
> max{a,b} = [mm]\bruch{a+b+|a-b|}{2}[/mm] ist.
> Hilft es mir hier weiter?
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> Vielen Dank schonmal!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Man kann das abschätzen und mit dem Sandwichlemma zeigen.
Zunächst sei a>0 und b>0.
Setze dann: $k=max(a,b)$
Jetzt wird abgeschätzt:
[mm]k=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{k^n} \leq \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a^n+b^n}\leq \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2\cdot(k)^n}[/mm]
Wende darauf nun das Sandwichlemma an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Super danke ! Habe das Sandwich Lemma darauf angewendet, nur habe ich nicht ganz verstanden, warum ich die Folge nach unten hin anschätzen kann mit max {a,b}. Also anders formuliert: WOher sehe ich, dass [mm] \wurzel[n]{k^{n}} [/mm] kleiner ist als die Folge?
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> Super danke ! Habe das Sandwich Lemma darauf angewendet,
> nur habe ich nicht ganz verstanden, warum ich die Folge
> nach unten hin anschätzen kann mit max {a,b}. Also anders
> formuliert: WOher sehe ich, dass [mm]\wurzel[n]{k^{n}}[/mm] kleiner
> ist als die Folge?
Naja, wir haben ja zunächst definiert, dass $k=max(a,b)$. Laut Aufgabenstellung soll gezeigt werden, dass [mm]max(a,b)= \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a^n+b^n}[/mm]
Mit dem Zusatz, dass $a>0$ und $b>0$ folgt das sofort.
3 ist ja zum Beispiel auch kleiner als 3+1 und das ist wiederum kleiner als 2*3.
Setze doch einmal Zahlen in die Abschätzung ein und lasse dir das nochmal langsam durch den Kopf gehen. Also zum Beispiel definiere:
$k=max(3,4)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
EDIT: Das untenstehende ist Humbug - man dreht sich damit nur im Kreis. Entschuldigung für den Post. Ich will nur den Beitrag nicht löschen, damit man den Fehler sieht.
Ich weise aber darauf hin: Unten stehendes gilt so nicht!
Hi,
andere Herangehensweise:
Sei O.B.d.A. [mm] \max(a,b)=a.
[/mm]
Dann gilt [mm] a-\epsilon=b [/mm] für [mm] \epsilon>0.
[/mm]
Wir formen um:
[mm] \sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{a^n+(a-\epsilon)^n}=\sqrt[n]{a^n(1+(\frac{a-\epsilon}{a})^n)}=a\sqrt[n]{1+(1-\frac{\epsilon}{a})^n}
[/mm]
Definiere [mm] a:=1-\frac{\epsilon}{a}
[/mm]
Es gilt [mm] 0<\alpha<1.
[/mm]
Es bliebe also noch zu zeigen, dass [mm] \sqrt[n]{1+\alpha^n}\to1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum ist das Humbug? Das wäre auch meine Lösung gewesen (abgesehen davon, dass ich gleich [mm] \alpha=\bruch{b}{a} [/mm] gesetzt hatte).
mit [mm] x_n=\sqrt[n]{1+\alpha^n} [/mm] ergibt sich [mm] ln(x_n)=\bruch{ln(1+\alpha^n)}{n} [/mm] was für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 konvergiert und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=1 [/mm] zeigt.
Gruß Sax.
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