Limesberechnung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 03.02.2011 | | Autor: | Beinling |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{cos(x)+x-cos(0)}{x} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\0^-} \bruch{e^x*1}{x} [/mm] |
Hallo,
zu 1.)
Da unter dem Bruchstrich x steht würde man hier 0 einsetzen und dies ist ja nicht möglich. Daher möchte ich den Bruch so kürzen (oder umstellen), dass das x unter dem Bruchstrich wegfällt. Aber wie ist das möglich?
Mein bisheriger Versuch: Die Erweiterung
[mm] \limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{(cos(x)+x-cos(0))*(cos(x)+x+cos(0))}{x*(cos(x)+x+cos(0))}
[/mm]
Doch nun komme ich nicht weiter! Ich bin mir auch gar nicht sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin...
zu 2.)
Die 1 fältt ja einfach weg, wodoruch ich erhalte:
[mm] \bruch{e^x}{x}.
[/mm]
Hier fehlt mir im Moment leider völlig der Ansatz...
Ich würde mich sehr über einen "Anstupser" eurerseits freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 03.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{cos(x)+x-cos(0)}{x}[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow\0^-} \bruch{e^x*1}{x}[/mm]
> Hallo,
>
> zu 1.)
>
> Da unter dem Bruchstrich x steht würde man hier 0
> einsetzen und dies ist ja nicht möglich. Daher möchte ich
> den Bruch so kürzen (oder umstellen), dass das x unter dem
> Bruchstrich wegfällt. Aber wie ist das möglich?
>
> Mein bisheriger Versuch: Die Erweiterung
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0^+} \bruch{(cos(x)+x-cos(0))*(cos(x)+x+cos(0))}{x*(cos(x)+x+cos(0))}[/mm]
>
> Doch nun komme ich nicht weiter! Ich bin mir auch gar nicht
> sicher, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin...
>
> zu 2.)
>
> Die 1 fältt ja einfach weg, wodoruch ich erhalte:
> [mm]\bruch{e^x}{x}.[/mm]
> Hier fehlt mir im Moment leider völlig der Ansatz...
>
> Ich würde mich sehr über einen "Anstupser" eurerseits
> freuen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Zu 1.
Es soll lauten x [mm] \to 0^{+}
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{cos(x)+x-cos(0)}{x}= \bruch{cos(x)-cos(0)}{x-0}+1
[/mm]
So, nun denk mal an "Differenzenquotient" und "Ableitung"
Zu 2.
Es soll lauten x [mm] \to 0^{-}
[/mm]
Steht da nicht vielleicht [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^-} \bruch{e^x-1}{x}
[/mm]
Wenn ja: [mm] \bruch{e^x-1}{x}= \bruch{e^x-e^0}{x-0} [/mm] und denke ans gleiche wie bei 1.
Wenn nein, so ist der Limes = [mm] -\infty
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 03.02.2011 | | Autor: | Beinling |
Hallo,
vielen Dank zuerst einmal! :)
> Zu 1.
>
> Es soll lauten x [mm]\to 0^{+}[/mm]
>
> Es ist [mm]\bruch{cos(x)+x-cos(0)}{x}= \bruch{cos(x)-cos(0)}{x-0}+1[/mm]
>
> So, nun denk mal an "Differenzenquotient" und "Ableitung"
Also, ich habe das wie folgt verstanden:
Du hast die Formel [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] verwendet. Daraufhin durch kürzen etc. erhält man
[mm] \bruch{cos(x)-1}{x}+1.
[/mm]
Somit habe ich also die Steigung einer Geraden bei [mm] x_{0}=0 [/mm] (oder die 1. Ableitung von f an der Stelle [mm] x_{0}=0) [/mm] erhalten. Ok!
Wenn ich nun x gegen 0 laufen lasse und hier einsetze kommt also 1 raus.
Ich bin der Meinung, dass die Funktion wie folgt aussieht: [Dateianhang nicht öffentlich]. Hieraus schließe ich, dass wenn x (von "rechts") gegen 0 läuft, das Ergebnis 1 sein sollte.
Also bin ich richtig?
> Zu 2.
>
>
> Es soll lauten x [mm]\to 0^{-}[/mm]
>
>
> Steht da nicht vielleicht [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^-} \bruch{e^x-1}{x}[/mm]
>
> Wenn ja: [mm]\bruch{e^x-1}{x}= \bruch{e^x-e^0}{x-0}[/mm]
Auch hier denke ich, hast du die Formel aus 1.) angewendet. Nur verstehe ich nicht ganz deine Kürzung. Ich komme immer wieder zu [mm] \bruch{\bruch{e^x-1}{x}}{x-0}.
[/mm]
Wenn ich hier nun x gegen 0 laufen lasse erhalte ich 0. Und laut der Zeichnung ([Dateianhang nicht öffentlich]) wäre das falsch! 1 wäre richtig. Aber auch wenn ich bei "deinem" Bruch x gegen 0 laufen lasse erhalte ich 0...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Beinling,
> Hallo,
>
> vielen Dank zuerst einmal! :)
>
> > Zu 1.
> >
> > Es soll lauten x [mm]\to 0^{+}[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\bruch{cos(x)+x-cos(0)}{x}= \bruch{cos(x)-cos(0)}{x-0}+1[/mm]
>
> >
> > So, nun denk mal an "Differenzenquotient" und "Ableitung"
>
> Also, ich habe das wie folgt verstanden:
> Du hast die Formel [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> verwendet. Daraufhin durch kürzen etc. erhält man
> [mm]\bruch{cos(x)-1}{x}+1.[/mm]
Besser ohne kürzen.
Was ist denn [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] im Falle der Existenz dieses GW?
Doch [mm]f'(0)[/mm]
Hier mit [mm]f(x)=\cos(x)+x[/mm]
Da steht doch als Bruch [mm]\frac{\cos(x)+x-(\cos(0)+0)}{x-0}[/mm]
Das strebt für [mm]x\to 0[/mm] also gegen [mm][\cos(x)+x]'\bigg|_0=-\sin(0)+1=1[/mm]
>
> Somit habe ich also die Steigung einer Geraden bei [mm]x_{0}=0[/mm]
> (oder die 1. Ableitung von f an der Stelle [mm]x_{0}=0)[/mm]
> erhalten. Ok!
Ja!
> Wenn ich nun x gegen 0 laufen lasse und hier einsetze kommt
> also 1 raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich bin der Meinung, dass die Funktion wie folgt aussieht:
> [Dateianhang nicht öffentlich]. Hieraus schließe ich, dass wenn x (von
> "rechts") gegen 0 läuft, das Ergebnis 1 sein sollte.
>
> Also bin ich richtig?
Das stimmt
>
>
> > Zu 2.
> >
> >
> > Es soll lauten x [mm]\to 0^{-}[/mm]
> >
> >
> > Steht da nicht vielleicht [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0^-} \bruch{e^x-1}{x}[/mm]
>
> >
> > Wenn ja: [mm]\bruch{e^x-1}{x}= \bruch{e^x-e^0}{x-0}[/mm]
>
> Auch hier denke ich, hast du die Formel aus 1.) angewendet.
> Nur verstehe ich nicht ganz deine Kürzung. Ich komme immer
> wieder zu [mm]\bruch{\bruch{e^x-1}{x}}{x-0}.[/mm]
Wie das? Da ist doch was dazugemogelt.
Der Ausgangsterm lautet doch [mm]\frac{e^x-1}{x}[/mm]
Und [mm]1=e^0[/mm]
Also [mm]...=\frac{e^x-e^0}{x-0}[/mm]
Also wieder der Differenzenquotient, hier mit [mm]f(x)=e^x[/mm]
Das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\left[e^x\right]'\bigg|_0=e^0=1[/mm]
>
> Wenn ich hier nun x gegen 0 laufen lasse erhalte ich 0. Und
> laut der Zeichnung ([Dateianhang nicht öffentlich]) wäre das falsch! 1
> wäre richtig. Aber auch wenn ich bei "deinem" Bruch x
> gegen 0 laufen lasse erhalte ich 0...
Nä, nie und nimmer ... 
Rechne mal vor, wie du bei Freds Bruch für [mm]x\to 0[/mm] als Wert 0 erhältst ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Beinling |
Vielen Dank für eure ausführlichen Hilfestellungen!!!
(fred97 und schachuzipus)
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