matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenLimesbestimmung von DGL höh.O.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Limesbestimmung von DGL höh.O.
Limesbestimmung von DGL höh.O. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Limesbestimmung von DGL höh.O.: Inspiration für komplexen Teil
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Mi 11.03.2020
Autor: clemenum

Aufgabe
"Zeige: Die Differenzialgleichung [mm] $y^{(5)}+y^{'}+5y=0$ [/mm] besitzt eine Lösung [mm] $y\neq [/mm] 0$ mit
[mm] $\lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = 0"$


Meine Idee: Ich zeige, dass ein solches $y$ monoton und beschränkt sein muss. Dann konvergiert es gegen einen Wert [mm] $\gamma \in \mathbb{C},$ [/mm] also [mm] $\lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = [mm] \gamma.$ [/mm] Nach dem Asymptotesatz wissen wir dann, dass [mm] $\lim_{t\to \infty} y^{'}(t) [/mm] = 0.$ Durch diesen unbestimmten Ansatz sollte es gelingen das [mm] $\gamma$ [/mm] konkret herauszufinden.  

Sollte es nicht gelingen, dann wäre mein Alternativansatz folgender:
Wir wissen, dass Lösungen proportional zu [mm] $e^{\lambda\cdot t}$ [/mm] sein werden. Weil die Gleichung 5-ten Grades ist, muss es also 5 verschiedene (reelle oder komplexe) Proportionalitätskonstanten geben in der Lösung, sodass die Lösung wie folgt aussieht:
$y(t) = [mm] \sum_{k=1}^{5} c_ke^{\lambda_k t},$ [/mm] wobei [mm] $\lambda_k \in \mathbb{C}$ [/mm] oder nur [mm] $\lambda_k \in \mathbb{R}$ [/mm] gilt.  
Nun zu einer strukturellen Analyse:
Was brauchen wir, damit $y(t)$ monoton gegen 0 gehen kann? Es müsste erreicht werden, dass die [mm] $\lambda_k$ [/mm] negativ sind, wenn sie in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] sind.  
Die DGL reduziert sich durch diesen unbestimmten Ansatz zu einem Polynom 5-ten Grades:
[mm] $\lambda^5 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 5 =0.$ Wieso muss hier also jedes [mm] $\lambda$ [/mm] negativ sein, wenn es in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] liegt ? Wäre [mm] $\lambda [/mm] >0,$ so wäre $l+5>>0$ und wegen [mm] $0<\lambda^5<\infty$ [/mm] wäre also [mm] $\lambda^5 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + 5>>0,$ somit wäre die charakteristische Gleichung nicht lösbar. Folglich muss wirklich jedes reelle $ [mm] \lambda$ [/mm] negativ sein, damit es eine Lösung sein kann (die Lösung $y=0$ ist ja laut Angabe nicht zugelassen).  
Überall wo [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm] ist, gilt also nun [mm] $\lim_{t\to\infty} e^{\lambda t} [/mm]  = 0.$ Übrig bleibt zu zeigen, dass die restlichen Terme, die nur komplex-wertig sind, auch einen solchen Limes haben.

Sei also [mm] $\lambda \in \mathbb{C}.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $e^{\lambda t} [/mm] = [mm] a^{(a+bi)t} [/mm] = [mm] e^{at +bti} [/mm] = [mm] e^{at}\left(\cos(bt)+i\cdot \sin(bt)\right).$ [/mm] Da [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\sin$ [/mm] NICHT beide gleichzeitig 0 sein können, muss also noch $a [mm] \in \mathbb{R} \wedge [/mm] a<0$ gezeigt werden, damit der ganze Ausdruck gegen 0 konvergieren kann.
Ein Ansatz wäre jetzt diesen Ausdruck mehrmals (5-mal) abzuleiten und dann durch Koeffizientenvergleich herzuleiten, dass $a<0$ sein muss, aber ich befürchte, dass es so einfach nicht geht, denn dass die Summanden alle 0 sind um die Summe 0 zu machen, ist ja nur ein Spezialfall. Es kann durchaus auch sein, dass manche Summanden an sich gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen, jedoch in Kombination mit einem anderen Summanden dann im Limes gegen 0 gehen. Wie kann ich das angehen?

Wäre für die gewisse Restinspiration, die nötig ist, sehr dankbar!

Mit besten Grüßen,
Clemenum

        
Bezug
Limesbestimmung von DGL höh.O.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 11.03.2020
Autor: fred97

Es geht viel einfacher: das zur Dgl geh. charakteristische Polynom lautet [mm] $p(\lambda)= \lambda^5+ \lambda [/mm] +5.$

Falls es nun eine reelle Nullstelle [mm] \lambda_0 [/mm] von $p$ gibt mit $ [mm] \lambda_0<0$, [/mm] so setze

      [mm] $y(t):=e^{\lambda_0 t}.$$ [/mm]

Dann ist $y$ eine Lösung der Dgl mit $ [mm] \lim_{t\to \infty} [/mm] y(t) = 0 $ .

Also bleibt die Frage: hat $p$ eine solche Nullstelle [mm] \lambda_0 [/mm] ?

Antwort: ja.

Warum ?

Darum: wir haben $p( [mm] \lambda) \to \infty$ [/mm] für $ [mm] \lambda \to \infty$ [/mm] und  $p( [mm] \lambda) \to -\infty$ [/mm] für $ [mm] \lambda \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm]

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein $ [mm] \lambda_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $p(\lambda_0)=0.$ [/mm]

Für [mm] \lambda \ge [/mm] 0 ist $p( [mm] \lambda) \ge [/mm] 5.$

Daher ist $ [mm] \lambda_0 [/mm] <0.$

Bezug
                
Bezug
Limesbestimmung von DGL höh.O.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 Do 12.03.2020
Autor: clemenum

Fred, vielen herzlichen Dank für deine Inspiration. Du hast meinen Kenntnisschatz wieder etwas erweitert. Denn, ich wusste nicht, dass es so eine elegante Lösung gibt; ich dachte, man müsse da wirklich aufwendig arbeiten!

Gruß und nochmal dankeschön,
Clemenum!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]