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| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum und [mm] \Phi [/mm] : V -> V/U die kanonische Surjektion.
a) Zeigen Sie:
Dann existiert für jeden K-Vektorraum X und jede lineare Abbildung f : V -> X mit [mm] fl_U [/mm] = 0 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
[mm] \tilde [/mm] f : V/U -> X mit f = [mm] \tilde [/mm] f [mm] \cdot \Phi.
[/mm]
Sei Q ein K-Vektorraum und [mm] \tilde \Phi [/mm] : V -> Q eine lineare Abbildung mit
[mm] \tilde \Phi|_U [/mm] = 0, so dass für jede lineare Abbildung f: V -> X mit [mm] f|_U [/mm] = 0 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung [mm] \hat [/mm] f : Q -> X mit f = [mm] \hat [/mm] f [mm] \cdot \hat \Phi [/mm] exisiert.
b) Zeigen sie:
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus
[mm] \hat f_Q [/mm] : Q -> V/U, so dass [mm] \Phi [/mm] = [mm] \hat f_Q \cdot \hat \Phi [/mm] gilt.
Achtung, bei den f tilde ist das tilde leider davor und nicht dadrauf. Ich kann das leider nicht ändern..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo!
Ich konnte zunächst mit der Aufgabe nicht viel anfangen, hab mir aber zu a) ein Schau bild überlegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also kann man nicht sagen, dass wen [mm] \Phi [/mm] und f lineare Abbildungen sind, dass dann auch [mm] \tilde [/mm] f eine lineare Abbildung ist?
Dann müsste ich doch nur noch zeigen, dass Phi linear ist oder? Wie gehe ich da dann am besten ran?
Bei b) bin ich ziemlich ratlos, ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, so viel ist mir klar. Aber wie kann ich diesen bei Vektorräumen untersuchen?
Ich bin dankbar für jeden Tipp und jede Hilfe! Danke schon mal im vorraus!
Lg WiebkeMarie
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi,
> Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, U [mm]\subset[/mm] V ein
> Untervektorraum und [mm]\Phi[/mm] : V -> V/U die kanonische
> Surjektion.
>
> a) Zeigen Sie:
> Dann existiert für jeden K-Vektorraum X und jede lineare
> Abbildung f : V -> X mit [mm]fl_U[/mm] = 0 eine eindeutig bestimmte
> lineare Abbildung
> [mm]\tilde[/mm] f : V/U -> X mit f = [mm]\tilde[/mm] f [mm]\cdot \Phi.[/mm]
>
> Sei Q ein K-Vektorraum und [mm]\tilde \Phi[/mm] : V -> Q eine
> lineare Abbildung mit
> [mm]\tilde \Phi|_U[/mm] = 0, so dass für jede lineare Abbildung f: V
> -> X mit [mm]f|_U[/mm] = 0 eine eindeutig bestimmte lineare
> Abbildung [mm]\hat[/mm] f : Q -> X mit f = [mm]\hat[/mm] f [mm]\cdot \hat \Phi[/mm]
> exisiert.
>
> b) Zeigen sie:
> Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus
> [mm]\hat f_Q[/mm] : Q -> V/U, so dass [mm]\Phi[/mm] = [mm]\hat f_Q \cdot \hat \Phi[/mm]
> gilt.
>
Zu a):
Für $v [mm] \in [/mm] V$ ist $v + U [mm] \in [/mm] V/U$.
Wir haben:
[mm] $\Phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U , [mm] \tilde [/mm] f : V/U [mm] \to [/mm] X$ und $f : V [mm] \to [/mm] X$. Wir fordern $f = [mm] \tilde [/mm] f [mm] \circ \Phi$. [/mm] Für alle $v [mm] \in [/mm] V$ muss dann gelten:
$f(v) = [mm] (\tilde [/mm] f [mm] \circ \Phi)(v) [/mm] = [mm] \tilde{f}(\Phi(v)) [/mm] = [mm] \tilde{f}(v+U)$. [/mm] Dadurch ist ja [mm] $\tilde [/mm] f$ wohl definiert: denn ist $v+U = v'+U$, so folgt $v-v' [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] Ker f$, also $f(v) = f(v')$. Die Linearität von [mm] $\tilde [/mm] f$ kann man nachrechnen.
Ist $v [mm] \in [/mm] Ker f$, so ist $0 = f(v) = [mm] \tilde{f}(v+U) \gdw [/mm] v+U [mm] \in [/mm] Ker f/U$. Also ist $Ker [mm] \tilde{f} [/mm] = Ker f/U$.
Ich denke, jetzt kannst Du b) versuchen!
Gruss,
logarithmus
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