Lineare Abhängigkeit/berechnen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | RailZ |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für welche s [mm] \in \IR^3 [/mm] die Vektoren
[mm] \vec{b1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ s}, \vec{b2} [/mm] = [mm] \vektor{s+3 \\ 5 \\ 2}, \vec{b3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 2s}
[/mm]
linear abhängig sind und stellen Sie in diesen fällen [mm] \vec{b3} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{b1} [/mm] und [mm] \vec{b2} [/mm] dar. |
Wie berechne ich das "s" in den Vektoren und woher weiß ich welche linear abhängig sind ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
schreib die Gleichung auf, die man braucht um die lin Unabhaengigkeit zu beweisen.
Dannbestimmedie 3 koeffizienten,fuer welchessind sie 0 fuer welche s gibt es welche ungleich 0?
man faengt fast immer mit der Def an!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 15.01.2013 | | Autor: | RailZ |
leider stehe ich auf dem Schlauch... Könntest du mir da eventuell einen Ansatz zeigen... bzw. ein Beispiel wäre nett.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> leider stehe ich auf dem Schlauch... Könntest du mir da
> eventuell einen Ansatz zeigen... bzw. ein Beispiel wäre
> nett.
na, Du hast das Gleichungssystem
[mm] $$(\*)\;\;\;p*\vektor{2 \\ 4 \\ s}+q*\vektor{s+3 \\ 5 \\ 2}+r*\vektor{4 \\ -2 \\ 2s}=\vektor{0\\0\\0}$$
[/mm]
in den Variablen $p,q,r [mm] \in \IR$ [/mm] zu lösen, wenn Du die drei Vektoren auf
lineare (Un-)Abhängigkeit prüfst. Wenn die Vektoren linear unabhängig
sind, muss die Menge aller Tripel [mm] $(p,q,r)\,,$ [/mm] die [mm] $(\*)$ [/mm] lösen, einelementig
sein, es muss nämlich [mm] $(p,q,r)=(0,0,0)\,$ [/mm] sein, oder anders gesagt: Es
muss dann [mm] $p=q=r=0\,$ [/mm] die "einzige Möglichkeit" sein, so dass [mm] $(\*)$ [/mm] gilt.
Löse halt [mm] $(\*)\,,$ [/mm] indem Du [mm] $s\,$ [/mm] als Parameter auffasst, mit etwa dem
Gausschen Algorithmus, und bedenke bei gewissen Zwischenschritten,
dass da vielleicht Fallunterscheidungen getroffen werden müssen (das
hängt von Deiner Rechenweise ab, ob Du welche brauchst, oder ob Du sie
Dir ganz oder teilweise ersparen kannst)...
Es gibt übrigens (da Du [mm] "$n\,$ [/mm] Vektoren mit jeweils [mm] $n\,$ [/mm] Koordinateneinträgen
hast - wobei hier [mm] $n=3\,$") [/mm] eine Alternative:
Deine drei obigen Spaltenvektoren sind dann und nur dann linear
UNabhängig, wenn
[mm] $$\det(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3) \red{\;\not=\;}0\,,$$
[/mm]
oder anders gesagt:
Sie sind genau dann linear UNabhängig, wenn
[mm] $$\det \pmat{2 & s+3 & 4\\ 4 & 5 & -2 \\ s & 2 & 2s}\red{\;\not=\;}0\,$$
[/mm]
gilt.
Sofern Du Dich denn schon mit Determinanten auskennst, diesen
Sachverhalt schon gelernt hast und etwa mit der Regel von Sarrus
umgehen kannst - dieses Vorgehen mit der Determinante ist meines
Erachtens nach übrigens zwar wesentlich einfacher, aber der von Leduart
vorgeschlagene Weg sollte alleine schon deswegen nochmal gegangen
werden, weil man dabei viel lernen und üben kann...
P.S. Vielleicht schreibst Du anstatt $p,q,r$ besser [mm] $\alpha,\,\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma\,.$
[/mm]
Dann sind diese griechischen Buchstaben die "gesuchten Variablen, in
denen man das GLS lösen will" und [mm] $s\,$ [/mm] wird deutlicher als Parameter
erkennbar. Nur so "rein didaktisch"...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:52 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie für welche s [mm]\in \red{\IR^3}[/mm] die Vektoren
> [mm]\vec{b1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ s}, \vec{b2}[/mm] = [mm]\vektor{s+3 \\ 5 \\ 2}, \vec{b3}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ -2 \\ 2s}[/mm]
> linear abhängig sind und stellen ...
da steht sicher $s [mm] \in \IR\,,$ [/mm] denn $s [mm] \in \IR^3$ [/mm] wäre doch ziemlich sinnfrei!
Gruß,
Marcel
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