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| Aufgabe | Sei $n$ eine positive ganze Zahl. Sei $D$ die Menge der Diagonalmatrizen der Dimension $n$, d.h. $D$ besteht aus allen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] für die gilt: [mm] $a_{ij}=0$ [/mm] für alle [mm] $i\not=j$.
[/mm]
Zeigen Sie:
1. Die $n [mm] \times [/mm] n$-Nullmatrix ist in $D$.
2. Ist $A [mm] \in [/mm] D$, dann ist auch $-A [mm] \in [/mm] D$.
3. Sind $A,B [mm] \in [/mm] D$, dann ist auch $A*B [mm] \in [/mm] D$. |
Hallo...
ich wollte diese Aufgaben machen, damit ich sie jemandem erklären kann, nur leider steig ich nicht ganz durch... ich weiß nicht, wie ich das "zeigen" soll. ... ich bin mir also relativ unsicher, wie ich da überhaupt anfangen soll.
ich weiß, normalerweise poste ich immer meinen ansatz/ meine lösung..aber jetzt hab ich echt keinen schimmer..und das bereitet mir schon schwierigkeiten!
ich wär echt froh, wenn ihr mir helft!
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 21.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dieses "zeigen" bedeutet hier nur, dass du nachweisen musst, dass die Eigenschaft : [mm] "$a_{ij}=0$ [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$" jeweils erfüllt ist.
also bei der Nullmatrix sollte es wohl klar sein, denn da sind einfach alle Einträge gleich 0, also insbesondere auch die außerhalb der Diagonalen.
zu 2) Wenn du weißt, dass für die Matrix A [mm] gilt:"$a_{ij}=0$ [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$" , wie sieht dann -A außerhalb der diagonalen aus?
zu 3) hier musst du ganz allgmein ansetzen : [mm] A=(a_{ij}) [/mm] und [mm] B=(b_{ij}) [/mm] , dann sei C=A*B - wie sieht dann ein [mm] c_{ij} [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$ aus ?!?
versuchst es mal?
viele Grüße
DaMenge
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Hallo!
Danke schonmal!
das mit der nullmatrix hab ich schonmal verstanden..das ist ja ganz einfach..aber ich verstehe den rest nicht..kannst du mir das vll mal erklären?
viele grüße
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Informacao,
I) Du must zeigen das wenn A eine Diagonalmatrix ist, dann ist es auch -A.
Als Beispiel
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] ist diagonal und
[mm] -A=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -2 } [/mm] auch. das muss nun verallgemeinert werden auf nxn Matrizen.
II) Hier multipliziert man zwei Diagonalmatrizen und zeigt, auch das Produkt ist diagonal.
Allgemein [mm] (A\cdot B)_{ij}=\summe_{k=1}^{n}A_{ik}\cdot B_{kj} [/mm] und
[mm] A_{ik}=0 [/mm] für [mm] i\ne [/mm] k
[mm] B_{kj}=0 [/mm] für [mm] k\ne [/mm] j
Also gilt insgesamt, nur für i=j ist [mm] (A\cdot B)_{ij} [/mm] ungleich 0.
Das wars.
mfg ullim
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