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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 09.06.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
t+x+[mm] \dot x [/mm]=0, x(0)=0. |
Hallo zusammen
bin mir bei dieser Aufgabe ziemlich unsicher ob ich da den richtigen/einfachsten Lösungsweg gewählt habe, wäre nett wenn sich jemand das mal durchlesen könnte.....
hab es so gemacht:
[mm] \dot x [/mm]=a(t)x + b(t)
[mm] \dot x [/mm]= -x-t
Stammfunktion zu a:
A(t)=-t
dann mit der Lösungsformel:
[mm] x(t)=e^{A(t)}*[\integral_{t0}^{t}{b(u)e^{-A(t)} du}+e^{-A(t)}*x0]
[/mm]
dann mit to=0 und x0=0
[mm] x(t)=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}+e^{0}*0]
[/mm]
[mm] =e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}
[/mm]
dann die Partielle Integration benutzt:
[mm] \integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}=-u*e^{u}-\integral_{-1e^{u} du}
[/mm]
[mm] =-u*e^{u}+*e^{u}
[/mm]
dann eingesetzt in x:
[mm] x(t)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t})
[/mm]
[mm] =e^{-t}*-te^{t}+e^{-t}*e^{t}
[/mm]
[mm] =e^{-t}*-te^{t}+1
[/mm]
[mm] =-te^{0}+1
[/mm]
=-t+1
stimmt nicht oder?^^ geht das noch einfacher zu rechnen bzw. geht das überhaupt so und wo liegen meine Fehler???
Danke schon mal bis hierhin
Grüße
ROffel
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Hallo Roffel,
> Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
>
> t+x+[mm] \dot x [/mm]=0, x(0)=0.
> Hallo zusammen
> bin mir bei dieser Aufgabe ziemlich unsicher ob ich da den
> richtigen/einfachsten Lösungsweg gewählt habe, wäre nett
> wenn sich jemand das mal durchlesen könnte.....
> hab es so gemacht:
>
> [mm]\dot x [/mm]=a(t)x + b(t)
> [mm]\dot x [/mm]= -x-t
> Stammfunktion zu a:
> A(t)=-t
> dann mit der Lösungsformel:
>
> [mm]x(t)=e^{A(t)}*[\integral_{t0}^{t}{b(u)e^{-A(t)} du}+e^{-A(t)}*x0][/mm]
>
> dann mit to=0 und x0=0
>
> [mm]x(t)=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}+e^{0}*0][/mm]
>
> [mm]=e^{-t}*[\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}[/mm]
>
> dann die Partielle Integration benutzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{t}{-ue^{u} du}=-u*e^{u}-\integral_{-1e^{u} du}[/mm]
>
>
> [mm]=-u*e^{u}+*e^{u}[/mm]
>
> dann eingesetzt in x:
>
> [mm]x(t)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t})[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]
>
> [mm]=e^{-t}*-te^{t}+e^{-t}*e^{t}[/mm]
> [mm]=e^{-t}*-te^{t}+1[/mm]
> [mm]=-te^{0}+1[/mm]
> =-t+1
>
> stimmt nicht oder?^^ geht das noch einfacher zu rechnen
> bzw. geht das überhaupt so und wo liegen meine Fehler???
>
> Danke schon mal bis hierhin
>
> Grüße
> ROffel
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 09.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Ah danke stimmt ja :)
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]
>
--> [mm] e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-(-0*e^{0}+e^{0})
[/mm]
= [mm] e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-1)
[/mm]
= [mm] -t+1-e^{-t} [/mm] könnte das dann stimmen und das ergebnis dieser Aufgabe sein oder hab ich wieder irgendwo fehler eingebaut? :)
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> Ah danke stimmt ja :)
>
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> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]x(t)=e^{-t} \left( \ \left \left(-u*e^{u}+e^{u}\right)\right|_{0}^{t} \ \right)=e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}- \ ...)[/mm]
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> >
> --> [mm]e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-(-0*e^{0}+e^{0})[/mm]
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> = [mm]e^{-t} (-t*e^{t}+e^{t}-1)[/mm]
> = [mm]-t+1-e^{-t}[/mm] könnte das
> dann stimmen und das ergebnis dieser Aufgabe sein oder hab
> ich wieder irgendwo fehler eingebaut? :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ne passt schon
gruß tee
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