Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] verschiedene reelle Zahlen. Beweise, dass die Funktionen
[mm] $\bruch{1}{x-a_1}, \ldots, \bruch{1}{x-a_n}$
[/mm]
linear unabhängig sein. |
Hallo,
zu dieser Aufgabe muss ich sagen, dass selbst ein anderer Mathematikdozent, mit dem wir solche Aufgaben manchmal anfangen zu lösen, keine Ahnung hatte, wie man hier ranzugehen hat. Nach meine Lösungsvorschlag, den ich hier vorstelle, hatte ich auch sozusagen einen Knoten im Kopf. Ich bin deshalb für jede Hilfe dankbar.
Damit man sagen kann, dass die Funktionen linear unabhängig sind, muss man zeigen, dass alle [mm] $z_i \in \IR$ [/mm] in der Gleichung
$ [mm] z_1*\bruch{1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n*\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0$
null ergeben müssen. Weil ich hier nur eine einzige Gleichung habe, habe ich beide Seiten der Gleichung abgeleitet, um eine zweite Gleichung zu erhalten, die da wäre:
$ [mm] (-z_1*\bruch{1}{(x-a_1)^2}) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (-z_n*\bruch{1}{(x-a_n)}) [/mm] = 0$
Wenn ich jetzt die erste Gleichung mit [mm] $\bruch{1}{x-a_1}$ [/mm] multipliziere und zu der zweiten hinzu addiere, erhalte ich:
$ [mm] z_2*\bruch{(a_1-a_2)}{(x-a_1)(x-a_2)^2}+\ldots+z_n*\bruch{(a_1-a_n)}{(x-a_1)(x-a_n)^2} [/mm] = 0 $
Hiermit habe ich den erste Koeffizienten 'aus dem Kopf'. Diesen Prozess wende ich so lange an, bis ich nur noch den Term mit [mm] z_n [/mm] übrig habe. Ich weiß nicht, wie ich das genau aufschreiben muss, aber die Gleichung sähe dann im Prinzip so aus:
$ [mm] z_n*\bruch{\cdots}{\cdots} [/mm] = 0$
Hier gerne korrigieren, wie man sowas richtig aufschreibt. Aus dieser Gleichung folgt dann, dass [mm] $z_n [/mm] = 0$. Das kann ich in die Gleichung mit den Koeffizieten [mm] $z_n$ [/mm] und [mm] $z_{n-1}$ [/mm] einsetzen, woraus dann folgt, dass auch [mm] $z_{n-1} [/mm] = 0$ sein muss. Das mache ich so lange, bis ich bei der ursprünglichen Gleichung angelangt bin, woraus dann folgt, dass [mm] $z_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] z_n [/mm] = 0$.
Hiermit wäre dann bewiesen, dass die Funktionen linear unabhängig sind.
Vielen Dank an alle, die mir Feedback geben :)
Liebe Grüße.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 16.10.2014 | | Autor: | fred97 |
Einfacher:
Sei [mm] D:=\IR \setminus \{a_1,...,a_n\}.
[/mm]
Aus
$ [mm] z_1\cdot{}\bruch{1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0 $
folgt nach Multiplikation mit [mm] x-a_1:
[/mm]
(*) $ [mm] z_1+z_2*\bruch{x-a_1}{x-a_2} \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{x-a_1}{x-a_n} [/mm] = 0 $
(*) gilt für alle $x [mm] \in [/mm] D$. Der Grenzübergang $x [mm] \to a_1$ [/mm] liefert sofort: [mm] z_1=0.
[/mm]
Es bleibt also:
$ [mm] z_2\cdot{}\bruch{1}{x-a_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0 $
Wiederhole obigen Schritt, um zu sehen: [mm] z_2=0. [/mm] Etc ... .
FRED
|
|
|
|
