matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Lineare Algebra / Vektorrechnung > Lineares Gleichungssystem
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineares Gleichungssystem: Bestimmung allgemeine Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 So 03.10.2010
Autor: Dust

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems:

[mm] 1x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 = 11 [/mm]

[mm] 0x_1 + 1x_2 + 3x_3 + 5x_4 + 7x_5 = 9 [/mm]

[mm] 3x_1 + 5x_2 + 7x_3 + 9x_4 + 11x_5 = 13 [/mm]

[mm] 1x_1 + 0x_2 + 2x_3 + 4x_4 + 6x_5 = 8 [/mm]

[mm] 1x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 = [/mm]

Guten Tag.  Vielen Dank für euere Hilfe im Vorraus. Und auch für schon geleistete Hilfe der vorherigen Aufgaben.

Erweiterte Koeffizientenmarix:
1.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 9 \\ 13 \\ 8 \\ 12 \end{matrix} [/mm]

Tauschen von Zeile 2  nach Zeile 5 und umgekehrt.
Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahren:
2.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 \\ 13 \\ 8 & Zeile (4) + Zeile (1) * -1 \\ 9 \end{matrix} [/mm]

3.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 \\ 13 & Zeile (3) + Zeile (1) * -3 \\ -3 \\ 9 \end{matrix} [/mm]

4.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 & Zeile (2) + Zeile (1) * -1 \\ -20 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}[/mm]

5.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ -3 \\ 9 & Zeile(5) + Zeile(2) * -1 \end{matrix} [/mm]

6.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ -3 & Zeile(4) : -3 \\ 8 \end{matrix} [/mm]

7.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ 1 & Zeile(4) + Zeile(2) * -1 \\ 8 \end{matrix} [/mm]

8.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ 0 \\ 8 \end{matrix} [/mm]

Tauschen von Zeile(4) mit Zeile (5) und umgekehrt

9.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 & Zeile(3) + Zeile(2) * 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

10.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -8 & -12 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -16 & Zeile(3) : -2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

11.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ 8 \\ 8 & Zeile (4) + Zeile(3) * -1 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

12.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ 8 & Zeile(3) : 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

13.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 & Zeile(1) + Zeile(2) * -3 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

14.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 8 & Zeile(1) + Zeile(3) * -2 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

15.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 & Zeile(2) + Zeile(3) * -1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

Die Endform nach dem Gauß-Jordan-Verfahren:

16.)
[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

Ich setze die Unbekannten gleich einem freien Parameter :

[mm] x_4 = r [/mm]  und
[mm] x_5 = s [/mm]

Damit ergeben sich aus der Endform der Koeffizientenmatrix außerdem die folgenden Gleichungen:

[mm] x_1 = 0 [/mm]

[mm] x_2 = -3 + 1r + 3s [/mm]

[mm] x_3 = 4 - 2r - 4s [/mm]

[mm] x_4 = r [/mm]

[mm] x_5 = s [/mm]


Meine allgemeine Lösung des LGS Gleichungssystems lautet daher:

[mm] \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

Gruß Dust
        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 So 03.10.2010
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen
> Gleichungssystems:
>  
> [mm]1x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 = 11[/mm]
>  
> [mm]0x_1 + 1x_2 + 3x_3 + 5x_4 + 7x_5 = 9[/mm]
>  
> [mm]3x_1 + 5x_2 + 7x_3 + 9x_4 + 11x_5 = 13[/mm]
>  
> [mm]1x_1 + 0x_2 + 2x_3 + 4x_4 + 6x_5 = 8[/mm]
>  
> [mm]1x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 =[/mm]
>  Guten Tag.  Vielen
> Dank für euere Hilfe im Vorraus. Und auch für schon
> geleistete Hilfe der vorherigen Aufgaben.
>  
> Erweiterte Koeffizientenmarix:
>  1.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 9 \\ 13 \\ 8 \\ 12 \end{matrix}[/mm]
>  
> Tauschen von Zeile 2  nach Zeile 5 und umgekehrt.
>  Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahren:
>  2.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 \\ 13 \\ 8 & Zeile (4) + Zeile (1) * -1 \\ 9 \end{matrix}[/mm]
>  
> 3.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 \\ 13 & Zeile (3) + Zeile (1) * -3 \\ -3 \\ 9 \end{matrix} [/mm]
>  
> 4.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 12 & Zeile (2) + Zeile (1) * -1 \\ -20 \\ -3 \\ 9 \end{matrix}[/mm]
>  
> 5.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ -3 \\ 9 & Zeile(5) + Zeile(2) * -1 \end{matrix}[/mm]
>  
> 6.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ -3 & Zeile(4) : -3 \\ 8 \end{matrix} [/mm]
>  
> 7.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ 1 & Zeile(4) + Zeile(2) * -1 \\ 8 \end{matrix}[/mm]
>
> 8.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}[/mm]
>  
> Tauschen von Zeile(4) mit Zeile (5) und umgekehrt
>  
> 9.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 0 & -4 & -8 & -12 & -16 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -20 & Zeile(3) + Zeile(2) * 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>  
> 10.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -8 & -12 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ -16 & Zeile(3) : -2 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>
> 11.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ 8 \\ 8 & Zeile (4) + Zeile(3) * -1 \\ 0 \end{matrix} [/mm]
>  
> 12.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 \\ 1 \\ 8 & Zeile(3) : 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>  
> 13.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 11 & Zeile(1) + Zeile(2) * -3 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>  
> 14.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 8 & Zeile(1) + Zeile(3) * -2 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>
> 15.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & \red{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 & Zeile(2) + Zeile(3) * -1 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}[/mm]
>
> Die Endform nach dem Gauß-Jordan-Verfahren:
>  
> 16.)
>  [mm]\begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & \red{-2} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & \red{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}[/mm]


Hallo,

bedingt durch einen Verschreiber lautet die Endmatrix etwas anders, was natürlich Auswirkungen aufs Endergebnis hat. Dieses mußt Du also erneut berechnen.


>  
> Ich setze die Unbekannten gleich einem freien Parameter :
>  
> [mm]x_4 = r[/mm]  und
>  [mm]x_5 = s[/mm]
>  
> Damit ergeben sich aus der Endform der Koeffizientenmatrix
> außerdem die folgenden Gleichungen:
>  
> [mm]x_1 = 0[/mm]
>  
> [mm]x_2 = -3 + 1r + 3s[/mm]
>  
> [mm]x_3 = 4 - 2r - 4s[/mm]
>  
> [mm]x_4 = r[/mm]
>  
> [mm]x_5 = s[/mm]
>  
>
> Meine allgemeine Lösung des LGS Gleichungssystems lautet
> daher:
>  
> [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]



Mal angenommen, Deine vorher berechnete Matrix wäre richtig gewesen. Dann hättest Du aber

[mm] $\vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ \red{1} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \\ 0 \\ \red{1} \end{pmatrix} [/mm] $.

Ich vermute lediglich Flüchtigkeit.
Das Prinzip hast Du verstanden - und Deine Darstellung ist vorbildlich übersichtlich!

Gruß v. Angela


>  
> Gruß Dust

Bezug
                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 So 03.10.2010
Autor: Dust

Hallo.

Die Endform lautet jetzt.

[mm] \begin{matrix} 1.) \\ 2.) \\ 3.) \\ 4.) \\ 5.) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} [/mm]

Damit ergeben sich jetzt die folgenden Gleichungen:

[mm] x_1 = 0 [/mm]

[mm] x_2 = -3 + 1r + 2s [/mm]

[mm] x_3 = 4 - 2r - 3s [/mm]

[mm] x_4 = r [/mm]

[mm] x_5 = s [/mm]


Meine allgemeine Lösung des LGS lautet jetzt:

[mm] \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

Vielen Dank für euere Hilfe.

Gruß Dust
Bezug
                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 So 03.10.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Das sieht jetzt gut aus

Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]