Lösen der DGL durch Eigenwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 30.10.2007 | | Autor: | mabau-07 |
| Aufgabe | Löse das DGL durch Eigenwertmethode:
[mm] y'_{1}=2y_{1}-y_{2}+x
[/mm]
[mm] y'_{2}=y_{1}+2y_{2}-e^{x} [/mm] |
Die homogene bekomme ich ja noch gelöst:
[mm] y_{h}=e^{x}[C_{1}\vektor{cos x \\ -sin x}+C_{2}\vektor{sin x \\ cos x}]
[/mm]
Stimmt das?
Aber bei der inhomgenen komme ich überhaupt nicht weiter, wie gehe ich am besten vor, bzw. was kommt raus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
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> [mm]y_{h}=e^{\red{2}x}[C_{1}\vektor{cos x \\ -sin x}+C_{2}\vektor{sin x \\ cos x}][/mm]
>
> zudem finde ich die Schreibweise etwas seltsam, besser:
Also ich finde seine Schreibweise für eine allgemeine Lösung normal, aber ich finde es seltsam, daß Du die Konstanten in die Fundamentalmatrix geschrieben hast. =)
>
> [mm]y_{h}=e^{2x}*\vektor{C_{1}*cos\ (x) \quad C_{2}*sin\ (x) \\ - C_{1}*sin\ (x) \quad C_{2}*cos\ (x)}[/mm]
Ernsthaftere Frage,
sollte die Fundamentalmatrix nicht so aussehen:
$Y(x)= [mm] e^{2x}\pmat{ -\sin(x) &\cos(x) \\ \cos(x) & \sin(x) }$
[/mm]
Entweder ich stehe grob auf der Leitung (gut möglich =), oder ihr habt die beiden Gleichungen vertauscht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 30.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Blech,
ja, du hast recht, ich hatte die Lösung einfach nur aus dem Kopf dahin geschrieben - noch richtiger wäre es natürlich einen Lösungsvektor anzugeben:
[mm] \vec{y}=\vektor{e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}cos\ (x)\ +\ C_{2}\cdot{}sin\ (x)] \\ -e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}sin\ (x) \ -\ C_{2}\cdot{}cos\ (x)]}\quad C_1,\ C_2\ \in\ \IR
[/mm]
Eigentlich sollte die Lösung so stimmen, wenn du für [mm] y_1 [/mm] den Ansatz:
[mm] y_1=e^{2x}(C_1*cos(x)+C_2*sin(x)) [/mm] nimmst, denn dein Ansatz wäre ja:
[mm] y_1=e^{2x}(\red{-}C_1*sin(x)+C_2*cos(x)) [/mm] - warum denn mit "-sin" anfangen?
Der Ansatz ist nicht falsch und deine Lösung daher auch nicht 
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo Blech,
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> ja, du hast recht, ich hatte die Lösung einfach nur aus dem
> Kopf dahin geschrieben - noch richtiger wäre es natürlich
> einen Lösungsvektor anzugeben:
>
> [mm]\vec{y}=\vektor{e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}cos\ (x)\ +\ C_{2}\cdot{}sin\ (x)] \\ -e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}sin\ (x) \ -\ C_{2}\cdot{}cos\ (x)]}\quad C_1,\ C_2\ \in\ \IR[/mm]
>
Und das ist, wo ich auf der Leitung stehe; hier ist doch
[mm] $A=\pmat{2&1\\-1&2}$ [/mm] statt [mm] $\pmat{2&-1\\1&2}$ [/mm] wie in der Aufgabenstellung. Meine letzte Begegnung mit DGLs ist schon etwas her, deswegen bin ich nicht sicher, aber ich sehe nicht, warum es keine Rolle spielen sollte ob man A transponiert oder nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Di 30.10.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> > Hallo Blech,
> >
> > ja, du hast recht, ich hatte die Lösung einfach nur aus dem
> > Kopf dahin geschrieben - noch richtiger wäre es natürlich
> > einen Lösungsvektor anzugeben:
> >
> > [mm]\vec{y}=\vektor{e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}cos\ (x)\ +\ C_{2}\cdot{}sin\ (x)] \\ -e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}sin\ (x) \ -\ C_{2}\cdot{}cos\ (x)]}\quad C_1,\ C_2\ \in\ \IR[/mm]
>
> >
> Und das ist, wo ich auf der Leitung stehe; hier ist doch
> [mm]A=\pmat{2&1\\-1&2}[/mm] statt [mm]\pmat{2&-1\\1&2}[/mm] wie in der
> Aufgabenstellung.
nein, [mm] A=\pmat{2&-1\\1&2} [/mm] - das hat aber mit dem homogenen Lösungsvektor nicht zu tun. Die Koeffizienten spielen erst bei der partikulären Lösung eine Rolle. Das Minus (an der Stelle [mm] C_1*sin(x)) [/mm] in meiner Lösung ergibt sich automatisch bei der Ableitung von [mm] y_1.
[/mm]
> Meine letzte Begegnung mit DGLs ist schon
> etwas her, deswegen bin ich nicht sicher, aber ich sehe
> nicht, warum es keine Rolle spielen sollte ob man A
> transponiert oder nicht.
ich habe nicht transponiert; habe allerdings auch noch nie ausprobiert, ob es eine Rolle spielt
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
>
> > > Hallo Blech,
> > >
> > > ja, du hast recht, ich hatte die Lösung einfach nur aus dem
> > > Kopf dahin geschrieben - noch richtiger wäre es natürlich
> > > einen Lösungsvektor anzugeben:
> > >
> > > [mm]\vec{y}=\vektor{e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}cos\ (x)\ +\ C_{2}\cdot{}sin\ (x)] \\ -e^{2x}\cdot{}[C_{1}\cdot{}sin\ (x) \ -\ C_{2}\cdot{}cos\ (x)]}\quad C_1,\ C_2\ \in\ \IR[/mm]
>
> bei der partikulären Lösung eine Rolle. Das Minus (an der
> Stelle [mm]C_1*sin(x))[/mm] in meiner Lösung ergibt sich automatisch
> bei der Ableitung von [mm]y_1.[/mm]
Das ist ja das Problem:
[mm] $y_1=e^{2x}(C_{1}\cos(x) [/mm] + [mm] C_{2}\sin(x)) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow y_1'=2y_1 [/mm] + [mm] e^{2x}(-C_1\sin(x)+C_2\cos(x))=2y_1+y_2$
[/mm]
und andersrum [mm] $y_2'=2y_2-y_1$. [/mm] D.h. die Vorzeichen sind falsch.
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
- aber an einer anderen Stelle 
