Lösen einer DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Hero2000 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung
[mm] y''+By'=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x}
[/mm]
für die Anfangsbedingung y(0)=2B und [mm] y'(0)=B^2 [/mm] |
Also ich bin die sache folgen der masse angegangen.
y''+By'=0
[mm] \lambda^2+B* \lambda=0 \Rightarrow \lambda_1=-B [/mm] und [mm] \lambda_2=0
[/mm]
da [mm] \lambda_1 \not= \lambda_2 [/mm] ergibt sich eine homogene Lösung von
[mm] y_h=C_1*e^{\lambda_1*x}+C_2*e^{\lambda_2*x} \Rightarrow y_h=C_1*e^{B*x}+C_2
[/mm]
um den Partikulärenteil [mm] y_p [/mm] zu brechnen habe ich mir gedacht das die störfunktion [mm] s(x)=Ax+\bruch{A}{B}+2B^3*e^{B*x} [/mm] in 2 Teile unterteilt
[mm] s_1(x)=Ax+\bruch{A}{B} [/mm] und [mm] s_2(x)=2B^3*e^{B*x}
[/mm]
für
[mm] s_1(x) [/mm] würde sich ja dann folgende Funktion für [mm] y_p [/mm] ergeben
[mm] s_1(x)=A_1*x^1+A_0*x^0
[/mm]
[mm] \lambda_1=0; \lambda_2 \not=0 [/mm]
[mm] y_p=x(A_1*x^1+A_0*x^0) \Rightarrow y_p=x(Ax+\bruch{A}{B}) \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B}
[/mm]
[mm] s_2(x)=2B^3*e^{B*x} [/mm] hier würde sich eine störfunktion von
[mm] s_2(x)=A*e^{ \alpha * x} [/mm] ergeben
[mm] \alpha=B
[/mm]
und [mm] A=2*B^3
[/mm]
laut lösungstabelle gibt es jetzt 2 wege
[mm] \alpha \not= \lambda_1,\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x}
[/mm]
oder
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \lambda_1,\not=\lambda_2 \Rightarrow y_p=A_1*e^{\alpha * x}
[/mm]
da [mm] \lambda_1=-B [/mm] ist denke ich müsste die erste lösung stimmen aber hier bin ich mir nicht sicher
also mit [mm] y_p=A_1*e^{\alpha * x}
[/mm]
ergibt sich dann [mm] y_p_2=2*B^3*e^{B*x}
[/mm]
damit müsste [mm] y_p=y_p_1+y_p_2 \Rightarrow y_p_1=Ax^2+\bruch{Ax}{B} [/mm] und [mm] y_p_2=2*B^3*e^{B*x}
[/mm]
[mm] y_P= Ax^2+\bruch{Ax}{B}+2*B^3*e^{B*x}
[/mm]
damit müsste [mm] y_i_n_h=y_h+y_p
[/mm]
[mm] y_i_n_h=C_1*e^{B*x}+C_2+Ax^2+\bruch{Ax}{B}+2*B^3*e^{B*x}
[/mm]
aber die Lösung stimmt irgendwie nicht,denke ich.
da hat sich bestimmt bei [mm] y_p_2 [/mm] irgendwie nen Fehler eingeschlichen.
Vielleicht sieht irgendwer von euch den Fehler
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hero2000,
Ich habe keine Fehler gefunden 
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 02.04.2006 | | Autor: | Hero2000 |
Danke nochmal fürs drüber kucken
sorry wenn ich jetzt nochmal ne ganz doofe Frage stelle was hat es jetzt mit den Anfangswert bedingungen auf sich
y(0)=2B $ und $ [mm] y'(0)=B^2 [/mm]
muss ich jetzt $
[mm] y_i_n_h=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm]
x=0
damit dann
[mm] 2B=\bruch{A}{2B}0^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}0}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}0}+C_2 [/mm]
[mm] 2B=B*e^0+C1*e^0+C2 \Rightarrow [/mm] 2B=B+C1+C2
und
[mm] f'(x)=\bruch{A}{2B}x^2+B\cdot{}e^{B\cdot{}x}+C_1\cdot{}e^{-B\cdot{}x}+C_2 [/mm] *dx
[mm] f'(x)=\bruch{A}{2B}x+B^2*e^{B*x}-B*C_1*e^{-B*x}
[/mm]
f'(x)=0
[mm] B^2=\bruch{A}{2B}0+B^2*e^{B*0}-B*C_1*e^{-B*0}
[/mm]
[mm] B^2=B^2-B*C1
[/mm]
damit ergibt sich dann
2B=B+C1+C2
[mm] B^2=B^2-B*C1
[/mm]
C1=0
C2=B
würde dann raus kommen.
hmm ich hasse das rechnen mit Buchstaben für mich müss bei sowas am besten werte raus kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 02.04.2006 | | Autor: | Hero2000 |
Gut freut mich
Dann danke ich allen die mir geholfen haben.
Vielleicht hilft diese Ausführliche Lösung auch anderen Leuten
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- soll natürlich nix heißen
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