Lösung div. Gleichungssysteme < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 So 23.10.2011 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man bestimme alle a (Element aus den reelen Zahlen) , für die das System
-: x+y-z=3
-: x-y+3*z=4
-: [mm] x+y+(a^2-10)*z=a
[/mm]
1) keine Lösung
2) eine eindeutig bestimmte Lösung
3) beliebig viele Lösungen besitzt! |
Halle liebe Forumsgemeindschaft!
Bin bei o. g. Bsp folgendermaßen vorgegangen:
1) Umwandlung der 3 Gleichungen in eine Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & (a^2-10) & a }
[/mm]
2) Umwandlung nach Gauß in Zeilen-Stufen-Form:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & (a^2-9) & (-3+a) }
[/mm]
3) Betrachtung der Lösbarkeit:
Ein Gleichungssystem ist lösbar, wennn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix (A,b) ist! ==> Ist bei diesem Beispiel der Fall!
Nun meine Frage:
Wie kann ich die Bedingungen für die Aufgaben 1-3 mathematisch formulieren, sodass ich zu einem vernünftigem Ergebniss gelange?? Und stimmen die Schritte bis hier her oder gibt es eine andere Möglichkeit??
Danke für eure Unterstützung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 So 23.10.2011 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Besten Dank für die rasche Antwort!
1. Fall: Die letze Zeile wird eine Nullzeile, wenn a = 3! ==> Der Rang der Matrix ändert sich von 3 auf 2, d.H.: ich kann eine Variable "frei wählen", d.H.: es gibt beliebig viele Lösungen!
2. Fall: In der letzetn Zeile findet sich nur noch am Ende ein Wert, wenn a = -3 (zweite Lösung der quadratischen Gleichung)! ==> Der Rang der Matrix ändert sich nicht, d.H.: es gibt genau eine Lösung!
3. Fall: Für alle a [mm] \not= \{-3, 3\} [/mm] ergibt sich bereits in der letzten Zeile der Matrix eine falsche Aussage! In diesem Fall würde die Matrix bzw. das Gleichungssystem keine Lösung liefern!
Habe ich das soweit richtig verstanden, oder liegt noch ein kleiner Denkfehler vor??
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 23.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo!
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> Besten Dank für die rasche Antwort!
>
> 1. Fall: Die letze Zeile wird eine Nullzeile, wenn a = 3!
> ==> Der Rang der Matrix ändert sich von 3 auf 2, d.H.: ich
> kann eine Variable "frei wählen", d.H.: es gibt beliebig
> viele Lösungen!
>
> 2. Fall: In der letzetn Zeile findet sich nur noch am Ende
> ein Wert, wenn a = -3 (zweite Lösung der quadratischen
> Gleichung)! ==> Der Rang der Matrix ändert sich nicht,
> d.H.: es gibt genau eine Lösung!
>
> 3. Fall: Für alle a [mm]\not= \{-3, 3\}[/mm] ergibt sich bereits in
> der letzten Zeile der Matrix eine falsche Aussage! In
> diesem Fall würde die Matrix bzw. das Gleichungssystem
> keine Lösung liefern!
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> Habe ich das soweit richtig verstanden, oder liegt noch ein
> kleiner Denkfehler vor??
Alles bestens, sehr schön.
EDIT: Siehe abakus' Korrektur
>
> Danke!
Marius
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:49 So 23.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Hallo!
> >
> > Besten Dank für die rasche Antwort!
> >
> > 1. Fall: Die letze Zeile wird eine Nullzeile, wenn a = 3!
> > ==> Der Rang der Matrix ändert sich von 3 auf 2, d.H.: ich
> > kann eine Variable "frei wählen", d.H.: es gibt beliebig
> > viele Lösungen!
> >
> > 2. Fall: In der letzetn Zeile findet sich nur noch am Ende
> > ein Wert, wenn a = -3 (zweite Lösung der quadratischen
> > Gleichung)! ==> Der Rang der Matrix ändert sich nicht,
> > d.H.: es gibt genau eine Lösung!
> >
> > 3. Fall: Für alle a [mm]\not= \{-3, 3\}[/mm] ergibt sich bereits in
> > der letzten Zeile der Matrix eine falsche Aussage! In
> > diesem Fall würde die Matrix bzw. das Gleichungssystem
> > keine Lösung liefern!
> >
> > Habe ich das soweit richtig verstanden, oder liegt noch ein
> > kleiner Denkfehler vor??
>
> Alles bestens, sehr schön.
Hallo,
die letzte Zeile des GS lautet
[mm] (a^2-9)*z=a-3, [/mm] nach 3. binomischer Formel auch
(a-3)(a+3)*z=a-3
Fall 1:
Für a=3 gilt tatsächlich 0*z=0, und z ist frei wählbar.
Fall 2:
Für a=-3 heißt die Gleichung
0*z=-6, und die hat NICHT genau eine Lösung, sondern gar keine.
Fall 3:
Für a [mm] \ne\pm3 [/mm] darf man die Gleichung durch (a-3)(a+3) dividieren und erhält genau eine Lösung für z, nämlich z=1/(a+3). Die Werte für y und x kann man daraus dann auch noch bekommen.
Gruß Abakus
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> >
> > Danke!
>
> Marius
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:30 So 23.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo abakus
Du hast natürlich recht, da habe ich zu schnell gelesen.
Marius
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