Lösung einer Diff-gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 18.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich bräuchte Hilfe bei der Lösung einer gew. Diff.-gleichung.
Es handelt sich um:
$f'(t) = [mm] \frac{1}{3+t} [/mm] - [mm] \bigg(\frac{1}{ln(3+t)} \bigg(\frac{1}{3+t}\bigg)^{C} [/mm] - [mm] \frac{1}{3+t}\bigg) [/mm] f(t)$
mit $0 [mm] \leq [/mm] t < [mm] \infty$ [/mm] und $C>0$.
Hat vielleicht jemand eine gute Idee, wie man hier herangehen könnte?
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Gruß, Dester
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Hallo DesterX,
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte Hilfe bei der Lösung einer gew.
> Diff.-gleichung.
> Es handelt sich um:
>
> [mm]f'(t) = \frac{1}{3+t} - \bigg(\frac{1}{ln(3+t)} \bigg(\frac{1}{3+t}\bigg)^{C} - \frac{1}{3+t}\bigg) f(t)[/mm]
>
> mit [mm]0 \leq t < \infty[/mm] und [mm]C>0[/mm].
> Hat vielleicht jemand eine gute Idee, wie man hier
> herangehen könnte?
Nun, zuerst die homogene DGL lösen
[mm]f'(t) =\bigg(\frac{1}{ln(3+t)} \bigg(\frac{1}{3+t}\bigg)^{C} - \frac{1}{3+t}\bigg) f(t)[/mm]
und gegebenfalls z=3+t substituieren.
> Wäre um jede Hilfe dankbar.
> Gruß, Dester
>
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:28 Fr 19.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Hi,
danke für deine Hilfe. Aber ich glaub dieser "einfache Weg" führt nicht zum Ziel, oder übersehe ich da was?
Denn was ist die Stammfunktion von
[mm] $\bigg(\frac{1}{ln(t)} \bigg(\frac{1}{t}\bigg)^{C}\bigg)$ [/mm] beziehungsweise von
[mm] $\bigg(\frac{1}{ln(t)} \bigg(\frac{1}{t}\bigg)^{C} [/mm] - [mm] \frac{1}{t}\bigg)$?
[/mm]
Angeblich besitzt diese Diff-gleichung tatsächlich eine Lösung (auf eine Angabe wird in meinem vorliegenden Text "aus schreibtechnischen Gründen" verzichtet), nur habe ich wirklich keine Idee, wie man sie ermitteln könnte.
In erster Linie interessiert mich allerdings das Grenzverhalten der Lösung:
Was passiert mit $f(t)$, wenn $t [mm] \rightarrow \infty$?
[/mm]
Könnte man evtl vorab hierzu bereits eine Aussage machen, ohne eine explizite Lösung selber anzugeben?
Würd mich sehr freuen, wenn jemand nochmal einen genaueren Blick darauf wirft.
Gruß, Dester
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Hallo DesterX,
> Hi,
> danke für deine Hilfe. Aber ich glaub dieser "einfache
> Weg" führt nicht zum Ziel, oder übersehe ich da was?
> Denn was ist die Stammfunktion von
> [mm]\bigg(\frac{1}{ln(t)} \bigg(\frac{1}{t}\bigg)^{C}\bigg)[/mm]
> beziehungsweise von
> [mm]\bigg(\frac{1}{ln(t)} \bigg(\frac{1}{t}\bigg)^{C} - \frac{1}{t}\bigg)[/mm]?
Diese Integrale sind nicht geschlossen lösbar.
>
> Angeblich besitzt diese Diff-gleichung tatsächlich eine
> Lösung (auf eine Angabe wird in meinem vorliegenden Text
> "aus schreibtechnischen Gründen" verzichtet), nur habe ich
> wirklich keine Idee, wie man sie ermitteln könnte.
Nun, Du kannst die Lösung in eine Taylorreihe entwickeln.
Dazu brauchst Du die Lösung f(t) nicht explizit zun kennen.
> In erster Linie interessiert mich allerdings das
> Grenzverhalten der Lösung:
>
> Was passiert mit [mm]f(t)[/mm], wenn [mm]t \rightarrow \infty[/mm]?
>
> Könnte man evtl vorab hierzu bereits eine Aussage machen,
> ohne eine explizite Lösung selber anzugeben?
Das Grenzverhalten hängt wahrscheinlich von C ab.
Vielleicht weiss jemand anderes mehr dazu, deshalb
lasse ich die Frage auf "teilweise beantwortet" stehen.
>
> Würd mich sehr freuen, wenn jemand nochmal einen genaueren
> Blick darauf wirft.
> Gruß, Dester
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Fr 19.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke nochmals.
Tatsächlich geht man davon aus, dass $C$ sehr groß ist.
Die Idee mit Taylor hatte ich auch schon, sie führte mich aber leider zu keinem Ziel.
Ich gehe davon aus, dass es noch Sätze gibt, die mir Aussagen über das Grenzverhalten in diesem Fall liefern.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:49 Fr 19.11.2010 | | Autor: | DesterX |
Ich öffne vielleicht nochmal die Frage. Wenn ich nun annehme, dass die Konstante $C>0$ hinreichend groß ist, und ich betrachte nun das Verhalten für $t [mm] \rightarrow \infty$, [/mm] so gilt zumindest für meine Koeffizienten der DGL:
$ f'(t) = [mm] \underbrace{\frac{1}{3+t}}_{\longrightarrow 0} [/mm] - [mm] \bigg(\underbrace{\frac{1}{ln(3+t)} \bigg(\frac{1}{3+t}\bigg)^{C} - \frac{1}{3+t}}_{\longrightarrow 0} \bigg) [/mm] f(t)$
Gibt es evtl nun einen Satz, der mir sagt, dass daher auch $f(t) [mm] \longrightarrow [/mm] 0$ folgt?
Vielen Dank schonmal im Voraus, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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