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Also wir sollen alle Lösungen der Gleichung [mm] (z-2+i)^3 [/mm] = 8i bestimmen. Es soll angenommen werden zum Angang, das w = z-2+i ist. So dann hab ich w = e^(i [mm] *\bruch{\pi}{6} [/mm] stimmt das erst mal. Und wie komm ich auf die Lösungen indem ich k einführe ? Bitte helft mir.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
deine Gleichung lautet ja:
(z-2+i)³=8i
Jetzt bestimmst du die Lösung der Gleichung w³=8i. Dann gilt:
z-2+i=w
z=2-i+w
Also musst du nur noch w bestimmen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Also das is mir soweit klar, aber [mm] w^3= e^i*(\bruch{\pi}{2}) +2k\pi) [/mm] oder ? So jetz muss ich etwa die rechte Seite hoch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rechnen um w rauszubekommen das ergibt dann w [mm] =e^i(\bruch{\pi}{6} +\bruch{\2pi}{3}) [/mm] oder ? und jetz lass ich doch einfach k von 0 bis 2 aufen und das sind doch meine Lösungen oder ? Gruß
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> Also das is mir soweit klar, aber [mm]w^3= e^i*(\bruch{\pi}{2}) +2k\pi)[/mm]
> oder ? So jetz muss ich etwa die rechte Seite hoch
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] rechnen um w rauszubekommen das ergibt dann
> [mm]w=e^i(\bruch{\pi}{6} +\bruch{\2 pi}{3})[/mm] oder ?
Beinahe: hier muss $k$ aber natürlich noch drin sein. Den Betrag [mm] $\sqrt[3]{8}=2$ [/mm] hast Du auch fallen lassen. Also besser wäre m.E.
[mm]\displaystyle w=2\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\Big(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\Big)},\; k\in\IZ[/mm]
>und jetz lass ich doch einfach k von 0 bis 2 laufen
Richtig.
> und das sind doch meine Lösungen oder ?
Noch nicht ganz: diese $w$ sind nur die dritten Wurzel der rechten Seite [mm] $\mathrm{i}8$ [/mm] der ursprünglichen Gleichung. - Du brauchst aber [mm] $z=2-\mathrm{i}+w$.
[/mm]
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