Lösungsansatz < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 05.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo!
Wie löse ich die ungleichung [mm] x^2+x+8>=0?
[/mm]
Habe das mit quadratischer ERgänzung versucht und dann
x1>=3,28 v x2>=2,28
herausbekommen.
Ist der Ansatz OK oder war das absoluter Schwachsinn?
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Naja, die quadratische Ergänzung hätte die darauf bringen können, dass die Ungleichung für alle [mm]x \in \IR[/mm] gilt...
Ich rechne dir hier mal die quadratische Ergänzung vor:
[mm]x^2+x+8\ =\ (x+\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}+8\ =\ (x+\bruch{1}{2})^2+\bruch{31}{4}[/mm]
So könntest du jetzt versuchen, die Nullstellen zu berechnen: [mm]x^2+x+8=0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](x+\bruch{1}{2})^2+\bruch{31}{4}=0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](x+\bruch{1}{2})^2=-\bruch{31}{4}[/mm]
Und da sieht man, dass der quadratische Term in den reellen Zahlen niemals negativ sein kann. Also gibt's bei einer Funktion zweiten Grades zwei Möglichkeiten: sie liegt entweder immer unterhalb, oder immer oberhalb der x-Achse.
Da das [mm]x^2[/mm] einen positiven Vorfaktor hat, ist die Parabel nach oben geöffnet, somit muss sie immer überhalb der x-Achse liegen, und daraus folgt [mm]x^2+x+8 \ge 0[/mm] [mm]\forall x \in \IR[/mm].
Alternativ könntest du auch direkt mit p-q-Formel versuchen, Nullstellen zu bestimmen, und dann (da keine Nullstellen vorhanden) wieder so wie oben argumentieren, dass die Kurve immer im Positiven verläuft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 05.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Habe mir den Graphen mal zeichnen lassen und gesehen das du absolut Recht hast.
Aber ich habe noch nicht ganz verstanden wie ich erkennen kann dass ich nicht weiterkomme.
Zeige dir mal was ich gemacht habe.
[mm] (x+1/2)^2-31/4>=0
[/mm]
(x+1/2+sqrt(31/4)) * (x+1/2 - sqrt(31/4))>=0
x>= -3,28 v x>=2,28
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrOetker!
> [mm](x+1/2)^2-31/4>=0[/mm]
Hier sitzt der Hase im Pfeffer!
Es muss heißen (siehe auch Lösung von e.kandrai):
[mm](x+\bruch{1}{2})^2 \red{+} \bruch{31}{4} \ge 0[/mm]
Und damit kannst Du nicht mehr gemäß 3. binomischer Formel auflösen, da es in [mm] $\IR$ [/mm] keine Lösung für diese Gleichung gibt ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mi 05.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Ok nachdem es etwas gesackt ist habe ich es jetzt endlich begriffen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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