Lösungsansatz bei Poly.fkt. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:38 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
| Aufgabe | Bsp1:
x''(t) + 2x'(t) = 4t
S(x) = 4t
Bsp2:
x''(t) + x'(t) = 2
S(x) = 2 |
Moin moin,
ich sitze jetzt etwas länger vor nur diesem einem Problem.
z.B. habe ich eine inhomogene DGL 2. Ordnung.
Rechne rechne rechne und komme zu folgendem Punkt:
Berechnung der partikulären Lösung:
[mm] y_{p} [/mm] = "Hier fehlt mir der Lösungsansatz"
Dieses Problem habe ich jedoch nur bei Polynomfunktion vom Gerade n
(Papula Formelsammlung 8. Auflage Seite 275 [Punkt 1])
Bsp1:
x''(t) + 2x'(t) = 4t
S(x) = 4t
Bsp2:
x''(t) + x'(t) = 2
S(x) = 2
Wie komme ich nun auf den Lösungsansatz. Aus der Papula Formelsammlung werde ich leider nicht schlau. Wie ich danach weiter mache - ist mir klar.
Kann mir jemand den Teil erklären?
Danke
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Hallo Zaibatsi,
> Bsp1:
> x''(t) + 2x'(t) = 4t
> S(x) = 4t
Eher [mm] $S(\red{t})$
[/mm]
>
> Bsp2:
> x''(t) + x'(t) = 2
> S(x) = 2
[mm] $S(\red{t})$
[/mm]
> Moin moin,
>
> ich sitze jetzt etwas länger vor nur diesem einem
> Problem.
>
> z.B. habe ich eine inhomogene DGL 2. Ordnung.
> Rechne rechne rechne und komme zu folgendem Punkt:
>
> Berechnung der partikulären Lösung:
>
> [mm]y_{p}[/mm] = "Hier fehlt mir der Lösungsansatz"
> Dieses Problem habe ich jedoch nur bei Polynomfunktion vom
> Gerade n
> (Papula Formelsammlung 8. Auflage Seite 275 [Punkt 1])
>
> Bsp1:
> x''(t) + 2x'(t) = 4t
> S(x) = 4t
>
> Bsp2:
> x''(t) + x'(t) = 2
> S(x) = 2
>
> Wie komme ich nun auf den Lösungsansatz. Aus der Papula
> Formelsammlung werde ich leider nicht schlau. Wie ich
> danach weiter mache - ist mir klar.
>
> Kann mir jemand den Teil erklären?
Nun, wenn du rechterhand ein Polynom [mm]S[/mm] n-ten Grades als Störfunktion hast, machst du folgende Ansätze bei linker Seite [mm]x''(t)+a\cdot{}x'(t)+b\cdot{}x(t)=S(t)[/mm]: (sofern $S(t)$ nicht Lösung der homogenen Dgl. ist)
1) für [mm]b\neq 0[/mm]: [mm]x_p(t)=a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0[/mm]
2) für [mm]b=0, a\neq 0[/mm]: [mm]x_p(t)=t\cdot{}\left(a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0\right)[/mm]
3) für [mm]b=a=0[/mm]: [mm]x_p(t)=t^2\cdot{}\left(a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0\right)[/mm]
Hier hast du in Bsp.1 den Fall 2) vorliegen mit Störfunktion [mm]S(t)=4t[/mm] ersten Grades.
Also machst du den Ansatz: [mm]x_p(t)=t\cdot{}(a_1\cdot{}t+a_0)[/mm]
Wie sieht's in Bsp.2 aus?
>
> Danke
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:45 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
> Nun, wenn du rechterhand ein Polynom [mm]S[/mm] n-ten Grades als
> Störfunktion hast, machst du folgende Ansätze bei linker
> Seite [mm]x''(t)+a\cdot{}x'(t)+b\cdot{}x(t)=S(t)[/mm]: (sofern [mm]S(t)[/mm]
> nicht Lösung der homogenen Dgl. ist)
>
> 1) für [mm]b\neq 0[/mm]:
> [mm]x_p(t)=a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0[/mm]
>
> 2) für [mm]b=0, a\neq 0[/mm]:
> [mm]x_p(t)=t\cdot{}\left(a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0\right)[/mm]
>
> 3) für [mm]b=a=0[/mm]:
> [mm]x_p(t)=t^2\cdot{}\left(a_n\cdot{}t^n+a_{n-1}\cdot{}t^{n-1}+\ldots+\ldots a_1\cdot{}t+a_0\right)[/mm]
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> Hier hast du in Bsp.1 den Fall 2) vorliegen mit
> Störfunktion [mm]S(t)=4t[/mm] ersten Grades.
>
> Also machst du den Ansatz:
> [mm]x_p(t)=t\cdot{}(a_1\cdot{}t+a_0)[/mm]
>
> Wie sieht's in Bsp.2 aus?
Bsp2)
Fall 2, da a [mm] \not= [/mm] 0 und b=0
S(t) ist 0.Gerad
Somit
[mm] y_{p} [/mm] = t * [mm] (a_{0}) [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] t
[mm] y_{p} [/mm] = at
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:47 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Zaibatsi |
Hier habe ich noch eine Frage
$ [mm] x''(t)+a\cdot{}x'(t)+b\cdot{}x(t)=S(t) [/mm] $
$ [mm] x_p(t)=t\cdot{}(a_1\cdot{}t+a_0) [/mm] $
Wieso ist a0 = a und a1 = b ? (Zumindest laut meinen Musterlösungen) Für mich ist das umgekehrt sinniger.
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Hallo,
> Wieso ist a0 = a und a1 = b ? (Zumindest laut meinen
> Musterlösungen) Für mich ist das umgekehrt sinniger.
Was passietr denn beim Ableiten eines Polynoms mit den einzelnen Exponenten? Die Antwort auf diese Frage dürfte das nötige Licht ins Dunkel bringen... 
Gruß, Diophant
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