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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 28.06.2009 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Sei M ein A-Modul $ [mm] \mathfrak{a}\subset [/mm] A $ ein Ideal. Zeige:
Ist $ [mm] M_{\mathfrak{m}} [/mm] = 0 $ für alle maximalen Ideale $ [mm] \mathfrak{m} \subset [/mm] A $ mit $ [mm] \mathfrak{a} \subset \mathfrak{m} [/mm] $, so ist $ M = [mm] \mathfrak{a}M [/mm] $ |
Hallo!
Ich hab zu Anfang schonmal eine ganz grundsätzliche Frage: Wie ist [mm] \mathfrak{a}M [/mm] definiert? Meine Vorschläge:
$ [mm] \mathfrak{a}M [/mm] = [mm] \left\{ \summe a_{i}m_{i}\ |\ a_{i} \in \mathfrak{a}\ m_{i} \in \mathfrak{m} \right\} [/mm] $ oder einfach nur
$ [mm] \mathfrak{a}M [/mm] = [mm] \left\{ am\ |\ a \in \mathfrak{a}\ m \in \mathfrak{m} \right\} [/mm] $
Abgesehen davon weiß ich nicht wirklich, wie ich anfange soll.
Ich versuchs mal:
also $ " [mm] \mathfrak{a}M \subseteq [/mm] M " $ gilt ja immer (unabhängig von meinen zwei Definitionen), oder? Denn wenn $ x [mm] \in \mathfrak{a}M \Rightarrow [/mm] x= [mm] \summe a_{i}m_{i} \in [/mm] M $ bzw. $ x=am [mm] \in [/mm] M $ , da M A-Modul.
Für $ "M [mm] \subseteq \mathfrak{a}M" [/mm] $ habe ich leider keine Ideen.
Wegen der Voraussetzung $ [mm] M_{\mathfrak{m}} [/mm] = 0 $ weiß ich, dass $ [mm] \bruch{m}{s} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] $ für $ m [mm] \in [/mm] M $ und $ s [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \mathfrak{m}$ [/mm] , d.h. $ [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M : mv = 0 $ für ein $ v [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \mathfrak{m} [/mm] $ .
Hilft mir das irgendwie weiter?..
Für Ideen wär ich dankbar!
Grüße, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 01.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei M ein A-Modul [mm]\mathfrak{a}\subset A[/mm] ein Ideal. Zeige:
> Ist [mm]M_{\mathfrak{m}} = 0[/mm] für alle maximalen Ideale
> [mm]\mathfrak{m} \subset A[/mm] mit [mm]\mathfrak{a} \subset \mathfrak{m} [/mm],
> so ist [mm]M = \mathfrak{a}M[/mm]
>
> Ich hab zu Anfang schonmal eine ganz grundsätzliche Frage:
> Wie ist [mm]\mathfrak{a}M[/mm] definiert? Meine Vorschläge:
> [mm]\mathfrak{a}M = \left\{ \summe a_{i}m_{i}\ |\ a_{i} \in \mathfrak{a}\ m_{i} \in \mathfrak{m} \right\}[/mm]
> oder einfach nur
> [mm]\mathfrak{a}M = \left\{ am\ |\ a \in \mathfrak{a}\ m \in \mathfrak{m} \right\}[/mm]
Man sollte es als ersteres Definieren; zweiteres klappt im Allgemeinen nicht (also das Resultat ist bzgl. der Addition nicht umbedingt abgeschlossen und somit kein Untermodul).
> Abgesehen davon weiß ich nicht wirklich, wie ich anfange
> soll.
> Ich versuchs mal:
> also [mm]" \mathfrak{a}M \subseteq M "[/mm] gilt ja immer
> (unabhängig von meinen zwei Definitionen), oder?
Genau.
> Denn wenn
> [mm]x \in \mathfrak{a}M \Rightarrow x= \summe a_{i}m_{i} \in M[/mm]
> bzw. [mm]x=am \in M[/mm] , da M A-Modul.
>
> Für [mm]"M \subseteq \mathfrak{a}M"[/mm] habe ich leider keine
> Ideen.
Vielleicht kann man das ganze etwas abstrakter ansetzen. [mm] $\mathfrak{a} [/mm] M = M$ ist ja aequivalent zu $N := M / [mm] (\mathfrak{a} [/mm] M) = 0$. Du musst also zeigen, dass $N = 0$ ist.
Dazu reicht es ja zu zeigen, dass [mm] $N_\mathfrak{m} [/mm] = 0$ ist fuer alle maximalen Ideale [mm] $\mathfrak{m}$. [/mm] (Dies hattet ihr schon, oder?)
Versuch das doch mal zu zeigen.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Do 02.07.2009 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
Vielen Dank für die Hinweise!
> Vielleicht kann man das ganze etwas abstrakter ansetzen.
> [mm]\mathfrak{a} M = M[/mm] ist ja aequivalent zu [mm]N := M / (\mathfrak{a} M) = 0[/mm].
> Du musst also zeigen, dass [mm]N = 0[/mm] ist.
>
> Dazu reicht es ja zu zeigen, dass [mm]N_\mathfrak{m} = 0[/mm] ist
> fuer alle maximalen Ideale [mm]\mathfrak{m}[/mm]. (Dies hattet ihr
> schon, oder?)
Ja, das hatten wir.
>
> Versuch das doch mal zu zeigen.
OK. Also so ganz stimmt das glaub ich noch nicht, aber trotzdem:
[mm] N_{\mathfrak{m}}=\{ \bruch{\overline{m}}{s} \ | \ \overline{m} \in M/\mathfrak{a}M, s \in A \backslash \mathfrak{m} \}.
[/mm]
Sei also [mm] \bruch{\overline{m}}{s} \in N_{\mathfrak{m}} \Rightarrow \bruch{\overline{m}}{s} [/mm] = [mm] \bruch{m+\mathfrak{a}M}{s} [/mm] = ?? [mm] \bruch{m}{s} [/mm] + [mm] \bruch{\mathfrak{a}M}{s} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] + [mm] \bruch{\mathfrak{a}M}{s} [/mm] = [mm] \bruch{\overline{0}}{1}
[/mm]
Wann brauchen wir denn die Bedingung [mm] \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m} [/mm] ?
>
LG hospie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> > Vielleicht kann man das ganze etwas abstrakter ansetzen.
> > [mm]\mathfrak{a} M = M[/mm] ist ja aequivalent zu [mm]N := M / (\mathfrak{a} M) = 0[/mm].
> > Du musst also zeigen, dass [mm]N = 0[/mm] ist.
> >
> > Dazu reicht es ja zu zeigen, dass [mm]N_\mathfrak{m} = 0[/mm] ist
> > fuer alle maximalen Ideale [mm]\mathfrak{m}[/mm]. (Dies hattet ihr
> > schon, oder?)
> Ja, das hatten wir.
Gut.
> > Versuch das doch mal zu zeigen.
>
> OK. Also so ganz stimmt das glaub ich noch nicht, aber
> trotzdem:
> [mm]N_{\mathfrak{m}}=\{ \bruch{\overline{m}}{s} \ | \ \overline{m} \in M/\mathfrak{a}M, s \in A \backslash \mathfrak{m} \}.[/mm]
Soweit ok.
> Sei also [mm]\bruch{\overline{m}}{s} \in N_{\mathfrak{m}} \Rightarrow \bruch{\overline{m}}{s}[/mm]
> = [mm]\bruch{m+\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = ?? [mm]\bruch{m}{s}[/mm] +
> [mm]\bruch{\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = [mm]\bruch{0}{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = [mm]\bruch{\overline{0}}{1}[/mm]
Das stimmt so nicht.
> Wann brauchen wir denn die Bedingung [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> ?
Du hast zwei Faelle: [mm] $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}$ [/mm] und [mm] $\mathfrak{a} \not\subseteq \mathfrak{m}$.
[/mm]
Im ersten Fall hast du nach Voraussetzung [mm] $M_\mathfrak{m} [/mm] = 0$; das musst du jetzt benutzen. Weisst du z.B. dass $N = [mm] M_\mathfrak{m} [/mm] / [mm] (\mathfrak{a} M)_\mathfrak{m}$ [/mm] ist? In dem Fall bist du sofort fertig.
Im zweiten Fall gibt es ein Element $t [mm] \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{m}$. [/mm] Fuer dieses ist [mm] $\frac{t}{1}$ [/mm] in [mm] $A_\mathfrak{m}$ [/mm] invertierbar. Das musst du jetzt geschickt nutzen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 02.07.2009 | | Autor: | hopsie |
> Hallo hopsie!
>
> > > Vielleicht kann man das ganze etwas abstrakter ansetzen.
> > > [mm]\mathfrak{a} M = M[/mm] ist ja aequivalent zu [mm]N := M / (\mathfrak{a} M) = 0[/mm].
> > > Du musst also zeigen, dass [mm]N = 0[/mm] ist.
> > >
> > > Dazu reicht es ja zu zeigen, dass [mm]N_\mathfrak{m} = 0[/mm] ist
> > > fuer alle maximalen Ideale [mm]\mathfrak{m}[/mm]. (Dies hattet ihr
> > > schon, oder?)
> > > Versuch das doch mal zu zeigen.
> >
> > OK. Also so ganz stimmt das glaub ich noch nicht, aber
> > trotzdem:
> > [mm]N_{\mathfrak{m}}=\{ \bruch{\overline{m}}{s} \ | \ \overline{m} \in M/\mathfrak{a}M, s \in A \backslash \mathfrak{m} \}.[/mm]
>
> Soweit ok.
>
> > Sei also [mm]\bruch{\overline{m}}{s} \in N_{\mathfrak{m}} \Rightarrow \bruch{\overline{m}}{s}[/mm]
> > = [mm]\bruch{m+\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = ?? [mm]\bruch{m}{s}[/mm] +
> > [mm]\bruch{\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = [mm]\bruch{0}{1}[/mm] +
> > [mm]\bruch{\mathfrak{a}M}{s}[/mm] = [mm]\bruch{\overline{0}}{1}[/mm]
>
> Das stimmt so nicht.
Das dacht ich mir schon...
>
> > Wann brauchen wir denn die Bedingung [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> > ?
>
> Du hast zwei Faelle: [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> und [mm]\mathfrak{a} \not\subseteq \mathfrak{m}[/mm].
>
> Im ersten Fall hast du nach Voraussetzung [mm]M_\mathfrak{m} = 0[/mm];
> das musst du jetzt benutzen. Weisst du z.B. dass [mm]N = M_\mathfrak{m} / (\mathfrak{a} M)_\mathfrak{m}[/mm]
> ist? In dem Fall bist du sofort fertig.
Ne, das hatten wir leider nicht.
Wozu brauchen wir denn die Betrachtung des zweiten Falls? Nach Voraussetzung soll ja [mm] \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m} [/mm] sein.
>
> Im zweiten Fall gibt es ein Element [mm]t \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{m}[/mm].
> Fuer dieses ist [mm]\frac{t}{1}[/mm] in [mm]A_\mathfrak{m}[/mm] invertierbar.
> Das musst du jetzt geschickt nutzen.
>
Ich komme trotz deiner Erklärungen leider kein Stück weiter...
Ich muss mir ein beliebiges [mm] \bruch{\overline{m}}{s} \in N_{\mathfrak{m}} [/mm] nehmen, und zeigen, dass dies [mm] \bruch{\overline{0}}{1} [/mm] ist, richtig? Und dazu muss ich verwenden, dass [mm] \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m} [/mm] ist... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Dabei geb ich mir echt Mühe... :(
LG hopsie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo hopsie!
> > > Wann brauchen wir denn die Bedingung [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> > > ?
> >
> > Du hast zwei Faelle: [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> > und [mm]\mathfrak{a} \not\subseteq \mathfrak{m}[/mm].
> >
> > Im ersten Fall hast du nach Voraussetzung [mm]M_\mathfrak{m} = 0[/mm];
> > das musst du jetzt benutzen. Weisst du z.B. dass [mm]N = M_\mathfrak{m} / (\mathfrak{a} M)_\mathfrak{m}[/mm]
> > ist? In dem Fall bist du sofort fertig.
>
> Ne, das hatten wir leider nicht.
Das zu zeigen ist nicht so schwer.
> Wozu brauchen wir denn die Betrachtung des zweiten Falls?
> Nach Voraussetzung soll ja [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> sein.
Lies dir die Aufgabenstellung nochmal ganz genau durch. Wo steht da, dass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] in jedem maximalen Ideal enthalten ist?
> > Im zweiten Fall gibt es ein Element [mm]t \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{m}[/mm].
> > Fuer dieses ist [mm]\frac{t}{1}[/mm] in [mm]A_\mathfrak{m}[/mm] invertierbar.
> > Das musst du jetzt geschickt nutzen.
>
> Ich komme trotz deiner Erklärungen leider kein Stück
> weiter...
> Ich muss mir ein beliebiges [mm]\bruch{\overline{m}}{s} \in N_{\mathfrak{m}}[/mm]
> nehmen, und zeigen, dass dies [mm]\bruch{\overline{0}}{1}[/mm] ist,
> richtig? Und dazu muss ich verwenden, dass [mm]\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}[/mm]
> ist... Dabei geb ich mir echt Mühe... :(
Es ist [mm] $\frac{m}{s} [/mm] = [mm] \frac{t}{1} \cdot \frac{m}{s t} \in (\mathfrak{a} M)_{\mathfrak{m}}$, [/mm] wenn $t [mm] \in \mathfrak{a}$ [/mm] und $t [mm] \not\in \mathfrak{m}$ [/mm] ist.
LG Felix
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