Lsg inhomog. Differenzengl. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 So 11.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen der Differenzengleichungen für die angegebenen Anfangsbedingungen.
a) 2y(x+1) +y(x)=-4 mit y(0)=-1
b) y(x) = y(x-1) -5 mit y(0)=2 |
moin,
zu a)
2y(x+1) +y(x)=-4
2y(x+1) =- y(x) -4
y(x+1) = -0,5*y(x) -2
[mm] y_{t}=(-0,5)^t*y_{0} [/mm] -2* [mm] \bruch{1-(-0,5)^t}{1-(-0,5)}
[/mm]
[mm] y_{t}=(-0,5)^t*(-1) [/mm] -2* [mm] \bruch{1-(-0,5)^t}{1,5}
[/mm]
zu b)
y(x)=y(x-1) -5
[mm] y_{t}=y(0) [/mm] -5* [mm] \bruch{1-(1)^t}{(1-1)}
[/mm]
ist das überhaupt lösbar?
komisch das.
danke & gruß
wolfgang
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mo 12.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
Kann hier keiner eine Antwort auf meine Frage geben?
:-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Mo 12.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin herby,
ja. danke, das mag helfen.
lg
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mo 12.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss nicht, wie man Differenzengl. allgemein loest.
was ich sehe, ist dass bei [mm] a)y(0)\ne-1
[/mm]
und y(1), das man ja noch direkt aus y(0)ausrechnen kann auch nicht.
bei b) denk ich sieht man direkt: y=-5x+2
da du aber statt y(x) [mm] y_t [/mm] schreibst, mach ich vielleicht was ganz falsch. Ist gar nicht y(x) gesucht?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 18.02.2007 | | Autor: | fridge |
Hallo,
da ich gerade dabei bin mir Differenzengleichungen beizubringen habe ich mich mal mit deiner Aufgabe auseinandergesetzt und bin auf folgende Lösungen gekommen:
a) [mm] $2y_{x+1}+y_{x}=-4$ [/mm] $/:2$
[mm] $y_{x+1}+\frac{1/2}y_{x}=-2$
[/mm]
zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
[mm] $y_{x+1}+\frac{1}{2}y_{x}=0$
[/mm]
ersetze [mm] $y_{x}=Ab^x$:
[/mm]
[mm] $Ab^{x+1}+A\frac{1}{2}b^x=0$ $/:Ab^x$
[/mm]
[mm] $b+\frac{1}{2}=0$
[/mm]
[mm] $b=-\frac{1}{2}$
[/mm]
d.h. [mm] $y_{x}=A(-\frac{1}{2})^x$
[/mm]
dann die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung:
dazu setze ich [mm] $y_{x+1}=y_x=y$
[/mm]
[mm] $y+\frac{1}{2}y=-2$
[/mm]
[mm] $y=-\frac{4}{3}$
[/mm]
Die Summe der 2 Lösungen ist:
[mm] $y_x=A(-\frac{1}{2})^x-\frac{4}{3}$
[/mm]
fehlt noch die Anfangsbedingung:
wenn man $x=0$ setzt erhält man
[mm] $y_0=A-\frac{4}{3}$
[/mm]
[mm] $y_0=-1$ [/mm] einsetzen und nach $A$ lösen gibt:
[mm] $A=\frac{1}{3}$
[/mm]
Die Lösung lautet daher
[mm] $y_x=\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^x-\frac{4}{3}$
[/mm]
b) [mm] $y_x=y_{x-1}-5$
[/mm]
zunächst habe ich $x=x+1$ gesetzt und die Gleichung umgestellt
[mm] $y_{x+1}-y_x=-5$
[/mm]
homogene Gleichung (wie in (a)):
[mm] $Ab^{x+1}-Ab^x=0$
[/mm]
$b-1=0$
$b=1$
[mm] $y_x=A1^x=A$
[/mm]
inhomogene Gleichung:
die Annahme [mm] $y_{x+1}=y_x=y$ [/mm] funktioniert hier nicht, daher nehme ich [mm] $y_{x}=kx$ [/mm] an
$k(x+1)-kx=-5$
$k=-5$
[mm] $y_{x}=-5x$
[/mm]
Die Summe der 2 Lösungen ist:
[mm] $y_{x}=A-5x$
[/mm]
wieder $x=0$ setzen
[mm] $y_0=A$
[/mm]
$A=2$
Die Lösung lautet daher:
[mm] $y_x=2-5x$
[/mm]
Grüße,
Fritz
|
|
|
|
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
- aber warum teilst du in Aufg. a nicht auch die -4 durch 2 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
