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| Aufgabe | Seien [mm] $p_1,p_2$ [/mm] zwei verschiedene W'keitsdichten auf [mm] $(S,\mathcal{S})$ [/mm] bezüglich des [mm] $\sigma$-endlichen [/mm] Maßes [mm] $\mu$. [/mm] Es gebe keinen Test mit Macht 1 für [mm] $H_0: \theta=1$ [/mm] gegen [mm] $H_1: \theta=2$ [/mm] oder umgekehrt. Sei
[mm] $$M:=\left\{\left[\int\varphi p_1\,\mathrm{d}\mu,\int\varphi p_2\,\mathrm{d}\mu\right]'\in\mathbb{R}^2\;:\;\varphi\in\Phi\right\}$$
[/mm]
Offensichtlich ist $M$ konvex.
Zeigen Sie:
(i) Für jedes [mm] $\alpha\in(0,1)$ [/mm] gibt es [mm] $u_1,u_2$ [/mm] mit [mm] $0
(ii) Für jedes [mm] $\alpha\in(0,1)$ [/mm] ist [mm] $[\alpha,\alpha]'\in M^\circ$. [/mm]
[mm] ($\Phi:=\{\varphi:(S,\mathcal{S})\to([0,1],\mathcal{B}) \text{ messbar}\}$) [/mm] |
Guten Tag zusammen,
ich habe derzeit leider ein kleines Verständnisproblem mit der obigen Aufgabe.
In der Vor. wird ja gesagt, dass es keinen Test mit Macht 1 gibt, d.h. [mm] $E_2[\varphi]=\int\varphi p_2\,\mathrm{d}\varphi\neq [/mm] 1$ für alle [mm] $\varphi\in\Phi$.\\
[/mm]
Aber es ist doch offensichtlich für [mm] $\varphi\equiv1\in\Phi$ [/mm] wegen [mm] $p_2$ [/mm] W'keitsdichte: [mm] $E_2[\varphi]=\int\varphi p_2\,\mathrm{d}\mu=\int p_2\,\mathrm{d}\mu=1$. [/mm] Deshalb weiß ich nicht genau, wie ich diese Voraussetzung verstehen soll, bzw. wo mein Denkfehler liegt.
Letztendlich würde das ja heißen, dass [mm] $[a,1],[1,a]\notin [/mm] M$ für alle [mm] $a\in\mathbb{R}$
[/mm]
Vielen Dank in Voraus,
Liebe Grüße
HugATree
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:32 Di 17.11.2015 | | Autor: | HugATree |
*Push*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 19.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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