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Maß auf (R,B(R)) Beweis: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mi 10.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] (\IR, \mathcal{B}(\IR)) [/mm] mit [mm] \mu(\{x\})=0, [/mm] x [mm] \in \IR. [/mm]
Weiter sei D [mm] \in \mathcal{B}(\IR) [/mm] mit [mm] \delta:= \mu(D) \in (0,\infty). [/mm]
z.z.: [mm] \forall [/mm] 0 < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \delta [/mm] existiert ein Intervall [mm] I_\alpha \in \mathcal{B}(\IR) [/mm]
mit [mm] \mu(I_\alpha \cap D)=\alpha. [/mm]




Hallo,

da [mm] \mu(\{x\})=0 [/mm] gilt, bilden die rationalen Zahlen eine Nullmenge.
Es gilt 0 < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \delta [/mm]
bzw. 0 < [mm] \mu(\underbrace{I_\alpha \cap D}_{\subset \IR})<\mu(D) [/mm] (wegen Monotonie des Maß mit [mm] I_\alpha \cap [/mm] D [mm] \subset [/mm] D)
Damit dies gilt, darf also nicht [mm] I_\alpha \cap [/mm] D [mm] \supseteq [/mm] D sein.

Wie wird hier nun allerdings die Gleichheit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \mu(I_\alpha \cap [/mm] D)
gefolgert, insbesondere was genau bedeutet das Intervall [mm] I_\alpha [/mm]
hier ausgeschrieben?


Hat jemand einen Hinweis bzw. einen Lösungsansatz?

        
Bezug
Maß auf (R,B(R)) Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mi 10.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> da [mm]\mu(\{x\})=0[/mm] gilt, bilden die rationalen Zahlen eine Nullmenge.

Ja, das ist hier aber nicht wichtig.

>  Es gilt 0 < [mm]\alpha[/mm] < [mm]\delta[/mm]

Ok.

>  bzw. 0 < [mm]\mu(\underbrace{I_\alpha \cap D}_{\subset \IR})<\mu(D)[/mm]

Wieso? Was ist denn [mm] $I_\alpha$ [/mm] nun?
Du sollst ja gerade zeigen, dass ein [mm] $I_\alpha$ [/mm] existiert.

Erst mal gilt für jedes Intervall $I$ erst mal $I [mm] \cap [/mm] D [mm] \subseteq [/mm] D$ und damit sofort erst mal nur $0 [mm] \le \mu(I \cap [/mm] D) [mm] \le \mu(D)$ [/mm]

Das hilft uns aber noch nicht.

>  Damit dies gilt, darf also nicht [mm]I_\alpha \cap[/mm] D [mm]\supseteq[/mm] D sein.

Das ist es auch nie, links steht ja eine Teilmenge von D.

> insbesondere was genau bedeutet das Intervall [mm]I_\alpha[/mm] hier ausgeschrieben?

Du sollst doch gerade erst so ein [mm] $I_\alpha$ [/mm] konstruieren!

Sei $f(x) := [mm] \mu([-x,x] \cap [/mm] D)$

Zeige bzw begründe: f ist stetig.

Was ist $f(0)$?
Was ist [mm] $f(\infty)$? [/mm]

Was sagt der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen jetzt dazu?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Maß auf (R,B(R)) Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Do 11.06.2020
Autor: TS85

Danke für den Hinweis habe mittlerweile eine ((vermutlich) relativ passable) Lösung erarbeitet.
Mich hat hier das formale Definieren
von [mm] \mu(I_\alpha..)=\alpha [/mm] gestört.

Es gilt dann [mm] \lim_{x \to -\infty} [/mm] f(x) = [mm] inf_{x \in \IR} [/mm] f(x)=0
und
[mm] \lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) = [mm] sup_{x \in \IR} f(x)=\mu(D). [/mm]

Die Sprungstelle bei x mit [mm] \mu( \{x\} \cap [/mm] D)=0
habe ich als stetig ausgewiesen, was beispielsweise mit
einer Folge [mm] a_n=1/n [/mm] gezeigt werden kann
(mit z.B. D [mm] \cap(x-1/n,x)) [/mm] für n [mm] \to \pm\infty). [/mm]

Danach habe ich die Fälle [mm] \mu(D)<\infty [/mm]
und [mm] \mu(D)=\infty [/mm] betrachtet, wobei der zweite eigentlich nur
ein Einsetzen von [mm] f(-n)<\alpha
Beim ersten nutze ich
[mm] f_E(m^\*)=\mu(D \cap (k^\*,m^\*)) [/mm]
und die Hilfsmengen
[mm] D_1 \{x \in D | x \le k \} [/mm] und [mm] D_2=\{x \in D | x \ge m\} [/mm]
mit der Abschätzung, dass für ein k*,m* [mm] \in \IR [/mm]
ein [mm] \mu(k^\*)<1/n [/mm] bzw. [mm] \mu(m^\*)<1/p [/mm] existiert.

Mit Betrachtung von den Intervallen (x,k*), (k*,m*) und (m*,x) kann
dann geschlussfolgert werden, dass [mm] f_E(k^\*)<\alpha [/mm] und [mm] f_E(m^\*)>\alpha [/mm]
und Anwendung Zwischenwertsatz liefert dann die Behauptung.

Ich vermute, dass der Beweis insgesamt grob bereits richtig ist, allerdings
ist manches Intervallklammer setzen vermutlich noch nicht exakt passend.
Unklar ist auch noch, ob das Betrachten von [mm] \mu(D)=\infty [/mm] auf diese schnelle Art möglich ist und ob die Stetigkeit noch einen größeren Beweis notwendig macht (Habe bisher nur gesagt dass [mm] \mu [/mm] stetig und wie bereits oben beschrieben die Sprungstelle betrachtet.
Vermutlich wäre ein formaler [mm] \epsilon-\delta [/mm] Beweis unnötig?)

Bezug
                        
Bezug
Maß auf (R,B(R)) Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Do 11.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es gilt dann [mm]\lim_{x \to -\infty}[/mm] f(x) = [mm]inf_{x \in \IR}[/mm] f(x)=0

$f$ ist für $x<0$ gar nicht definiert. D.h. der Ausdruck [mm]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/mm] macht gar keinen Sinn.
Es ist aber stattdessen $f(0) = 0$ (weise das nach!).

>  [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm] f(x) = [mm]sup_{x \in \IR} f(x)=\mu(D).[/mm]

[ok]
Wobei die erste Gleichung gar nicht so klar ist, ich würde das direkt über die Stetigkeit von unten des Maßes zeigen.
Rauskommen tut aber dasselbe.

> Danach habe ich die Fälle [mm]\mu(D)<\infty[/mm]
> und [mm]\mu(D)=\infty[/mm] betrachtet

Der zweite Fall kann nicht eintreten, da nach Aufgabenstellung [mm] $\mu(D) \in (0,\infty)$ [/mm] gelten soll.
Die Aussage wäre für den Fall [mm] $\mu(D) [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm] auch falsch.

> Mit Betrachtung von den Intervallen (x,k*), (k*,m*) und
> (m*,x) kann
>  dann geschlussfolgert werden, dass [mm]f_E(k^\*)<\alpha[/mm] und
> [mm]f_E(m^\*)>\alpha[/mm]
>  und Anwendung Zwischenwertsatz liefert dann die
> Behauptung.

Viel zu kompliziert:
Es ist f(0) = 0 < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \mu(D) [/mm] = [mm] f(+\infty)$ [/mm]
Der Zwischenwertsatz liefert dann die Behauptung, dass ein [mm] $x_\alpha$ [/mm] existiert mit [mm] $\alpha [/mm] = [mm] f(x_\alpha) [/mm] = [mm] \mu([-x_\alpha,x_\alpha] \cap [/mm] D)$.

D.h. [mm] $I_\alpha [/mm] = [mm] [-x_\alpha,x_\alpha]$ [/mm] liefert das Gewünschte.

> Ich vermute, dass der Beweis insgesamt grob bereits richtig ist,

sehr grob.

>  Unklar ist auch noch, ob das Betrachten von [mm]\mu(D)=\infty[/mm]

Siehe oben, ist nicht nötig.

> und ob die Stetigkeit noch einen größeren Beweis notwendig macht (Habe bisher
> nur gesagt dass [mm]\mu[/mm] stetig und wie bereits oben beschrieben
> die Sprungstelle betrachtet.

Erstmal: $f$ hat gar keine Sprungstelle (selbst wenn man x<0 zulassen würde.

>  Vermutlich wäre ein formaler [mm]\epsilon-\delta[/mm] Beweis unnötig?

Es gibt auch noch die Folgenstetigkeit.
Die bietet sich hier eher an.

Dir ist vielleicht aufgefallen, dass du die Eigenschaft [mm] $\mu(\{x\}) [/mm] = 0$ bisher noch gar nicht brauchtest… dies brauchst du um die (Stetigkeit von $f$ zu zeigen.

D.h. zeige: [mm] $\lim_{x_k \to x} f(x_k) [/mm] = f(x)$
Tipp: Zeige obiges seperat für [mm] $x_k [/mm] > 0$ und [mm] $x_k [/mm] < 0$ mit Hilfe der Stetigkeit des Maßes von oben / unten.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Maß auf (R,B(R)) Beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:44 Fr 12.06.2020
Autor: TS85

Ich bin bei der Funktion ausversehen noch von [mm] \mu((-\infty,x)\cap [/mm] D) ausgegangen, woher meine [mm] lim_{x \to -\infty} [/mm] Betrachtung herkommt.

Fortfolgend nochmal die neue Betrachtung:

f(x):= [mm] \mu([-x,x] \cap [/mm] D)

f(0) = [mm] \mu([-0,0]\cap [/mm] D)= [mm] \mu(\emptyset) [/mm] oder [mm] \mu(\{x\}), [/mm] daher =0

[mm] lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) [mm] =^\* sup_{x \in \IR} f(x)=\mu(D)=\mu([-\infty,\infty]\cap [/mm] D)

*Da mit Stetigkeit von unten gilt bei Betrachtung von [mm] A_n=[-\infty,n] [/mm] mit [mm] (A_1 \subset A_2 \subset A_3 [/mm] ...):
[mm] \mu((\bigcup_{n=1}^{n}A_n)\cap D)=\mu([-\infty,\infty]\cap D)=\mu(\IR\cap D)=\mu(D)=lim_{n \to \infty}\mu(A_n\cap D)=lim_{n \to \infty}f(n) [/mm]

Aus [mm] f(0)=0<\alpha<\mu(D)=f(+\infty) [/mm] folgt dann mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass
[mm] \alpha=f(x_\alpha)=\mu([-x_\alpha,x_\alpha]\cap D)=\mu(I_\alpha\cap [/mm] D)


Nachtrag Stetigkeit von oben:
[mm] B_n=[-\infty,-n] [/mm] mit [mm] B_1 \supset B_2 \supset [/mm] ...
[mm] \mu((\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n)\cap D)=\mu(\emptyset \cap D)=0=lim_{n \to \infty}\mu(B_n\cap [/mm] D)=0

-von rechts [mm] (x_k>x) [/mm] gegen x konvergierende Folge [mm] I_n=[-\infty,x_n], [/mm]
sodass [mm] \cap I_n [/mm] = [mm] [-\infty,x] [/mm] ist.
Stetigkeit von oben führt dann auf
[mm] f(x)=\mu([-\infty,x]\cap [/mm] D)= [mm] lim_{n \to \infty}[-\infty,x_n]=f(x^+) [/mm]

Was ist bei dem Stetigkeit-Nachweis auszubessern?
Ist bei der Argumentation zum Zwischenwertsatz eigentlich nichts weiter anzugeben?


Bezug
                                        
Bezug
Maß auf (R,B(R)) Beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 14.06.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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