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| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] Körper und n,m [mm] \in \IN. [/mm] Jede Matrix A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm] definiert eine lineare Abbildung [mm] \phi_A [/mm] : [mm] {\IK}^n [/mm] -> [mm] {\IK}^m. {\phi}_A [/mm] (x):=Ax.
[mm] Beweise:\phi_{I_n} [/mm] = [mm] id_{ {\IK}^n} [/mm] |
A [mm] \in M_{m \times n}
[/mm]
[mm] \phi_A :{\IK}^n [/mm] -> [mm] {\IK}^m
[/mm]
> Frage
Ist das immer so, dass die Abbildung von [mm] \IK [/mm] hoch der Spaltenanzahl zu [mm] \IK [/mm] hoch der Zeilenanzahl geht ? Ist das eine Definition, die so ist. oder könnte man die Abbildung auch in die andere Richtung definieren, so dass es sinnvoll ist?
> Beweise: [mm] \phi_{I_n} [/mm] = [mm] id_{{\IK}^n}
[/mm]
[mm] I_n [/mm] ist die Einheitsmatrix.
Aber was ist id? identische..?
LG
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> Sei [mm]\IK[/mm] Körper und n,m [mm]\in \IN.[/mm] Jede Matrix A [mm]\in M_{m \times n} (\IK)[/mm]
> definiert eine lineare Abbildung [mm]\phi_A[/mm] : [mm]{\IK}^n[/mm] ->
> [mm]{\IK}^m. {\phi}_A[/mm] (x):=Ax.
> [mm]Beweise:\phi_{I_n}[/mm] = [mm]id_{ {\IK}^n}[/mm]
> A [mm]\in M_{m \times n}[/mm]
>
> [mm]\phi_A :{\IK}^n[/mm] -> [mm]{\IK}^m[/mm]
> > Frage
> Ist das immer so, dass die Abbildung von [mm]\IK[/mm] hoch der
> Spaltenanzahl zu [mm]\IK[/mm] hoch der Zeilenanzahl geht ?
Hallo,
ja, wenn Du aus einem VR der Dimension n in einen Vektorraum der Dimension m abbildest, muß die Darstellungsmatrix immer n Spalten und m Zeilen haben, denn Du multiplizierst sie ja mit einem Vektor mit n Einträgen und mußt eine Vektor mit m Einträgen herausbekommen.
> Ist das
> eine Definition, die so ist. oder könnte man die Abbildung
> auch in die andere Richtung definieren, so dass es sinnvoll
> ist?
Dann brauchst Du eine andere Matrix, sonst klappt's ja mit der Multiplikation nicht.
>
>
> > Beweise: [mm]\phi_{I_n}[/mm] = [mm]id_{{\IK}^n}[/mm]
> [mm]I_n[/mm] ist die Einheitsmatrix.
> Aber was ist id? identische..?
Ja. [mm] id_{K^n} [/mm] ist die Identität auf [mm] K^n, [/mm] die jeden Vektor des [mm] K^n [/mm] auf sich selbst abbildet.
LG Angela
>
>
> LG
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> Hallo,
Hei ;)
> ja, wenn Du aus einem VR der Dimension n in einen
> Vektorraum der Dimension m abbildest, muß die
> Darstellungsmatrix immer n Spalten und m Zeilen haben, denn
> Du multiplizierst sie ja mit einem Vektor mit n Einträgen
> und mußt eine Vektor mit m Einträgen herausbekommen.
Ah, jetzt ist es mir klar. Vielen DANK!
> >
> > > Beweise: [mm]\phi_{I_n}[/mm] = [mm]id_{{\IK}^n}[/mm]
> > [mm]I_n[/mm] ist die Einheitsmatrix.
> > Aber was ist id? identische..?
>
> Ja. [mm]id_{K^n}[/mm] ist die Identität auf [mm]K^n,[/mm] die jeden Vektor
> des [mm]K^n[/mm] auf sich selbst abbildet.
ah okay.
[mm] (\phi_{In})(x)=I_{n}x=x=id_{{\IK}^n} [/mm] (x)
Ich denke es passt so.
LG
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> > > > Beweise: [mm]\phi_{I_n}[/mm] = [mm]id_{{\IK}^n}[/mm]
> > > [mm]I_n[/mm] ist die Einheitsmatrix.
> > > Aber was ist id? identische..?
> >
> > Ja. [mm]id_{K^n}[/mm] ist die Identität auf [mm]K^n,[/mm] die jeden Vektor
> > des [mm]K^n[/mm] auf sich selbst abbildet.
> ah okay.
> [mm](\phi_{In})(x)=I_{n}x=x=id_{{\IK}^n}[/mm] (x)
>
> Ich denke es passt so.
Hallo,
ja, es paßt.
LG Angela
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