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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mi 30.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe, bei der es lieb wäre wenn mir jemand helfen könnte!!!
Zeigen Sie das für die n*n Matrix gilt:
[mm] A=\pmat{ b &a& ...& a \\ a & b&...& a\\ ... & ..&...& ...\\ a&...&...& b}
[/mm]
[mm] detA=(b-a)^{n-1}*(b+(n-1)a)
[/mm]
Ich hab es an einer 4*4 Matrix probiert und bin soweit gekommen:
[mm] \pmat{ b &a & a& a \\ a & b &a & a\\ a &a &b & a\\ a& a& a& b}
[/mm]
[mm] \pmat{ b-a &0 & 0& a-b \\ 0 & b-a &0 & a-b\\ 0 &0 &b-a & a-b\\ a& a& a& b}
[/mm]
[mm] \pmat{ b-a &0 & 0& 0 \\ 0 & b-a &0 & 0\\ 0 &0 &b-a & 0\\ a& a& a& b+ 3a}
[/mm]
So mein Problem ist nun das ich aus der letzten Zeile noch die a wegbekommen muß um mein Ergebnis zu zeigen, aber dabei dreh ich mich im Kreis, ich hab versucht durch a zu teilen oder die Zeilen 1-3 zur letzten zu addieren, bringt alles nichts! Hat jemand ne Idee?
Liebe Grüße
Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mi 30.06.2004 | | Autor: | choosy |
Du kannst die letzte zeile einfach ganz normal ausräumen, das ändert am rest der matrix nichts, da sonst nur auf der Diagonalen etwas ungleich 0 steht.
ansonsten einfach nach letzter spalte entwickeln...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 30.06.2004 | | Autor: | tine |
> Hallo,
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> ich habe folgende Aufgabe, bei der es lieb wäre wenn mir
> jemand helfen könnte!!!
> Zeigen Sie das für die n*n Matrix gilt:
>
> [mm]A=\pmat{ b &a& ...& a \\ a & b&...& a\\ ... & ..&...& ...\\ a&...&...& b}
[/mm]
>
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> [mm]detA=(b-a)^{n-1}*(b+(n-1)a)
[/mm]
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> Ich hab es an einer 4*4 Matrix probiert und bin soweit
> gekommen:
> [mm]\pmat{ b &a & a& a \\ a & b &a & a\\ a &a &b & a\\ a& a& a& b}
[/mm]
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> [mm]\pmat{ b-a &0 & 0& a-b \\ 0 & b-a &0 & a-b\\ 0 &0 &b-a & a-b\\ a& a& a& b}
[/mm]
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> [mm]\pmat{ b-a &0 & 0& 0 \\ 0 & b-a &0 & 0\\ 0 &0 &b-a & 0\\ a& a& a& b+ 3a}
[/mm]
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Hallo ,
leider komm ich immer noch nicht klarr!!!
Ich hab mir überlegt das ich alle n-1 Zeilen mit a multipliziere und die nte Zeile mit b-a, da kommt dann ... raus:
[mm] \pmat{ (b-a)a &0 & 0& 0 \\ 0 & (b-a)a &0 & 0\\ 0 &0 &(b-a)a & 0\\ 0& 0& 0& (b+ 3a)(b-a)}
[/mm]
diese Diagonale führt aber nicht zum geforderten Erbebnis
[mm] detA=(b-a)^{n-1}*(b+(n-1)a)
[/mm]
sondern zu
[mm] detA=((b-a)a)^{n-1}*(b+(n-1)a)*(b-a)
[/mm]
Wär lieb wenn mir jemand sagen könnte wo ich einen Fehler gemacht hab!
Liebe Grüße
tine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo tine
wenn sich die Matrix nicht änderen soll, dann darfst du nur das x-Fache einer Zeile zu einer andern Zeile addieren (das Gleiche auch mit Spalten).
In deinem Fall wäer das aber gar nicht mehr nötig, weil du ja, wie bereits in der 1. Anrwort erwähnt wurde, nach der letzten Spalte entwickeln könntest.
Bestehst du aber doch darauf, dann hättest du jeweisl das [mm] $\bruch{a}{a-b}$-fache [/mm] einer Zeile zur letzten addieren müssen.
Wenn du aber doch an deinem Ansatz festhalten willst (man hat ja so seine Freiheiten), dann musst du einfach wissen: wenn eine Zeile (oder Spalte) einer Matrix mit $x$ multipliziert wird, dann ver-$x$-facht sich auch die Determinante. Weil du $n-1$ Zeilen mit $a$ multipliziert hast, musst du dann halt zum Ausgleich die errechnete Determinante wieder durch [mm] $a^{(n-1)}$ [/mm] dividieren. Die letzte Zeile hast du mit $(b-a)$ multipliziert, somit musst du die Determinante dann auch wieder durch $(b-a)$ dividieren.
Wenn du dies tust, dann erhältst du genau das geforderte Resultat. 
Mit lieben Grüssen
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