Matrix gilt d(A)=d(I)*det(A) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei K ein Körper und sei d:knxn→K eine Abbildung welche Determinantenbed. D1 linear in jeder Zeile und D2 alternierend erfüllt. |
Behauptung:
Dann gilt für alle A∈Knxnd(A)=d(I)⋅det(A)
Beweis:
Sei A eine Matrix mit [mm] A:=(a_\{ij}) [/mm] und I [mm] :=(e__\{ij}) [/mm] die Einheitsmatrix und Sei det(A)=∑ [mm] Signum(\σ)⋅a_1σ(1)⋅....⋅a_nσ(n) [/mm] erfüllt D1 und D2
somit können wir das in die Form d(λ⋅A)=λ⋅det(A) und nach D2 gilt [mm] S_n=A_n \bigcup {A_n}⋅τ [/mm] und [mm] d(a_1⋅....⋅a_j⋅....⋅a_j⋅...⋅a_n)=0
[/mm]
dann können wir das in folgender form aufschreiben d(A)=λ⋅det(A) also müssen wir nur noch zeigen, das d(I)=λ
dies folgt unmittelbar aus: www.onlinemathe.de/forum/Quadratische-Matrix-mit-detA-Einheit und d(I)=1 und somit können wir λ den Wert 1 zuweisen und es gilt d(A)=d(I)⋅det(A)
Q.E.D.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Mo 18.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper und sei d:knxn→K eine Abbildung welche
> Determinantenbed. D1 linear in jeder Zeile und D2
> alternierend erfüllt.
> Behauptung:
>
> Dann gilt für alle A∈Knxnd(A)=d(I)⋅det(A)
>
> Beweis:
>
> Sei A eine Matrix mit [mm]A:=(a_\{ij})[/mm] und I [mm]:=(e__\{ij})[/mm] die
> Einheitsmatrix und Sei det(A)=∑
> [mm]Signum(\σ)⋅a_1σ(1)⋅....⋅a_nσ(n)[/mm] erfüllt D1 und
> D2
>
> somit können wir das in die Form d(λ⋅A)=λ⋅det(A)
Hä ? Ist [mm] \lambda \in [/mm] K ? Soll das für alle [mm] \lambda [/mm] gelten ? Wenn ja, so hättest Du mit [mm] \lambda=1: [/mm] d(A)=det(A) ?
> und
> nach D2 gilt [mm]S_n=A_n \bigcup {A_n}⋅τ[/mm]
Was soll das denn bedeuten ????
> und
> [mm]d(a_1⋅....⋅a_j⋅....⋅a_j⋅...⋅a_n)=0[/mm]
>
> dann können wir das in folgender form aufschreiben
> d(A)=λ⋅det(A)
Auch das ist nicht nachvollziehbar.
> also müssen wir nur noch zeigen, das
> d(I)=λ
>
> dies folgt unmittelbar aus:
> www.onlinemathe.de/forum/Quadratische-Matrix-mit-detA-Einheit
Wie das ????
> und d(I)=1 und somit können wir λ den Wert 1 zuweisen und
> es gilt d(A)=d(I)⋅det(A)
Dann wäre ja d(A)=det(A) ?
>
> Q.E.D.
Ganz bestimmt nicht !
FRED
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